Texto: Ângulos

Ângulos

Os ângulos são usados em diversas áreas do conhecimento, como na cartografia, na geografia, na engenharia, na física, na química, na biologia, na arte, na astronomia, na arquitetura e em várias ramos da medicina.

Diversos profissionais utilizam ângulos no dia a dia para solucionar problemas, como, por exemplo, o pedreiro, que, para construir a parede, usa o prumo que dá noções de perpendicularidade, mantendo a parede reta, que faz com o chão um ângulo de 90°. Outros profissionais, tais como marceneiros, mecânicos, costureiras, bombeiros, utilizam ângulos em seus trabalhos de forma direta ou indireta.

As primeiras definições a respeito de ângulos são encontradas nos gregos, a partir de Tales (séc. VI a.C.) e Euclides (séc. III a.C.).
 
Tales de Mileto (640 a.C a 550 a.C.)

No nosso cotidiano, estamos cercados por diversos objetos que nos dão a ideia de ângulo. Veja alguns exemplos abaixo:
 

Neste tópico, iremos estudar definições, classificações e operações com ângulos. 


Ângulos e seus Elementos

Duas semirretas distintas e de mesma origem dividem o plano em duas regiões: região convexa e região não-convexa.

Qualquer segmento que tracemos por dois pontos contidos numa região convexa pertence totalmente a ela. Já na região não-convexa, isso não ocorre.

Veja o exemplo:
 

A região amarela é convexa, pois o segmento
está totalmente contido nela.
 
Já o segmento
não está totalmente contido na região azul, logo, essa região é não-convexa.

Nesse exemplo, podemos perceber que as semirretas distintas de origem em O determinam dois ângulos, sendo um correspondente à região convexa e outro à região não-convexa.

Se no texto não for informado qual o ângulo que vamos utilizar, iremos sempre considerar o ângulo correspondente à região convexa.

No ângulo da figura acima, destacamos os seguintes elementos:
 
 
 

Medida de um Ângulo

Para medir a abertura de um ângulo usamos o transferidor.
 

Você Sabia?

Transferidor é um material muito usado para medida e marcação de paredes. É composto basicamente por uma escala circular, ou de seções de círculo, dividida e marcada em ângulos espaçados regularmente, tal qual numa régua. Seu uso é diversificado tendo emprego em educação, matemática, engenharia, topografia, construção e diversas outras atividades que requeiram o uso e a medição de ângulos com precisão.”   Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Transferidor
  
Segue abaixo dois modelos de transferidor.
 
Transferidor de 180° e transferidor de 360°


Classificação de um Ângulo

Um ângulo é classificado de acordo com sua medida, podendo ser nulo, reto, raso, agudo ou obtuso.  
 

Observe a tabela abaixo:
 
 

Ângulos Congruentes

Observe o losango abaixo de vértices PQRS.
 
 
 
Logo,
 



Operações com Ângulos

Será que a medida de um ângulo pode ser fracionária?

Sim, mas para escrever a medida fracionária de um ângulo, teremos que usar os submúltiplos do grau.

Os submúltiplos do grau (°) são o minuto (’)  e o segundo (’’). 

Cada grau (1°)  equivale a 60 minutos (60’) e cada minuto (1’) equivale a 60 segundos (60”).


Adição de Medidas de Ângulos

Para adicionar as medidas de dois ou mais ângulos, iremos somar segundos com segundos, minutos com minutos e graus com graus.
Vamos calcular 12° 45’ 33” + 34° 23’ 45”.
 

Como a soma dos segundos foram superiores a 60, iremos transformar 60 segundos em um minuto. Assim:
 

A soma dos minutos também é superior a 60; assim, iremos transformar 60 minutos em um grau.
 
 
Logo, 12° 45’ 33” + 34° 23’ 45” = 47° 9’ 18”


Subtração de Medidas de Ângulos

Para calcular a diferença entre as medidas de dois ângulos, iremos subtrair segundos com segundos, minutos com minutos e graus com graus.
 
Vamos calcular 34° 23’ 45” -  12° 45’ 33”.
 

Para fazer 23’ – 45’, iremos trocar 1° por 60 minutos. Agora teremos 34° - 1° = 33° e 23’ + 60’ = 83’.

Acompanhe:
 

Portanto, 34° 23’ 45” -  12° 45’ 33” = 21° 38’ 12”.


Multiplicação da Medida de um Ângulo por um Número Natural

Para multiplicar a medida de um ângulo por um número natural, iremos multiplicar o número natural pelos segundos, minutos e graus. Se necessário, no resultado iremos transformar os segundos em minutos e os minutos em graus.

Vamos calcular 12° 25’ 23’’ × 3.

Acompanhe:
 

Temos que 60” = 1’. Assim:
 
 
Portanto, 12° 25’ 23’’ × 3= 36° 46’ 9”


Divisão da Medida de um Ângulo por um Número Natural

Para dividir a medida de um ângulo por um número natural, devemos dividir, respectivamente, os graus, os minutos e os segundos pelo número natural.

Caso o resto da divisão dos graus pelo número natural seja diferente de zero, iremos reduzir os graus em minutos antes de realizarmos a divisão dos minutos pelos número natural. Em seguida, faremos a divisão dos minutos pelo número natural e, se o resto for diferente de zero, devemos reduzir os minutos em segundos antes de começar a dividir os segundos pelo número natural.

Vamos calcular 13° 32’ 27’’ : 3.

Acompanhe: 
 

 Portanto, 13° 32’ 27’’ : 3=4°30’49”.


Bissetriz de um Ângulo

 

Atenção!

A semirreta de origem no vértice de um ângulo que divide o ângulo em dois ângulos congruente é denominada bissetriz do ângulo.
 

Em Resumo

Neste tópico aprendemos algumas definições de ângulos que são importantes para o avanço de nossos estudos. Precisamos lembrar que os ângulos são classificados conforme a sua medida, podendo ser nulo, reto, agudo, reto ou obtuso. É importante lembrar que ângulos congruentes têm a mesma medida e que a semirreta que passa pela origem de um ângulo e o divide em dois ângulos de mesma medida é denominada bissetriz do ângulo. Sempre que necessário, ao adicionar ou subtrair as medidas de dois ângulos ou multiplicar a medida de um ângulo por um número natural, iremos reduzir os resultados, ou seja, iremos transformar segundos em minutos e minutos em graus. Já na divisão, iremos transformar o resto da divisão dos graus pelo número natural em minutos e o resto da divisão dos minutos pelo número natural em segundos. 
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