Texto: Vértice da Parábola, Imagem e Valor Máximo ou Mínimo da Função Quadrática

Vértice da Parábola, Imagem e Valor Máximo ou Mínimo da Função Quadrática

 

Vértice de uma parábola

Vértice é uma junção de segmentos. No caso de uma parábola, seria o exato local em que ela altera seu sentido, ou seja, é o “bico” da parábola. Tal ente geométrico pode aparecer de duas maneiras:
 
  • O menor valor que a função assume (ponto de mínimo)
 
 
 
 
  • O maior valor que a função assume (ponto de máximo)
 
 
 
 
 

Para calcularmos tal ponto, poderemos utilizar dois processos distintos:
 
 
 


Utilizando a fórmula

Seja a função #f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c#, com a, b e c reais, com a diferente de zero. O ponto V possui coordenada (x, y) como qualquer outro ponto. Iremos denotá-las como (x v, y v).
 
O x v é calculado por #{{x}_{v}}=-\frac{b}{2a}#. . Feito isso, basta jogar o valor encontrado de x na função para obter o valor de y.
 

Utilizando média aritmética (recomendado pelo autor):

Toda parábola apresenta um eixo de simetria, ou seja, ela pode ser cortada ao meio em duas metades idênticas. Tendo calculado as raízes da função, basta calcularmos a média aritmética delas, pois o ponto do vértice sempre estará em cima do eixo de simetria. Em outras palavras, o x v sempre estará no meio exato entre as raízes.
 
 
Exemplo: #f(x)={{x}^{2}}-4x+3#
 
 
Para calcularmos suas raízes, basta igualarmos a função a zero:
 
#f(x)={{x}^{2}}-4x+3=0#
#{{x}^{2}}-4x+3=0#
#\Delta ={{(-4)}^{2}}-4\cdot 3\cdot 1=16-12=4#
#x=\frac{-(-4)\pm \sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4\pm 2}{2}#
#x'=3#  e  #x''=1# 
 
 
A média geométrica entre 1 e 3 é #M=\frac{1+3}{2}=2#. Note, geometricamente, que o vértice realmente 
está situado no valor x = 2. Agora, basta jogarmos x = 2 na função para encontrarmos o valor de y.
 
#f(x)={{x}^{2}}-4x+3#
#f(2)={{2}^{2}}-4\cdot 2+3=4-8+3#
#f(2)=-1#
 
 
Observação: tal procedimento só poderá ser realizado quando a função admitir raízes reais.
 

 

Valor Máximo

Uma função quadrática terá valor máximo se . Esse valor é encontrado por: #{{y}_{V}}=\frac{-\Delta }{4a}#.
 

Valor Mínimo

Uma função quadrática terá valor mínimo se . Esse valor é encontrado por: #{{y}_{V}}=\frac{-\Delta }{4a}#.
 
 
Exemplo: A função #f\left( x \right)=\,{{x}^{2}}-x-6# admite valor máximo ou valor mínimo? Qual é esse valor?
 
 
Resolução: Admite valor mínimo, pois #a=1>0#.
 
#\Delta ={{b}^{2}}-4\,.\,a\,.\,c#
#\Delta ={{\left( -1 \right)}^{2}}-4\,.\,1\,.\,\left( -6 \right)#
#\Delta =1+24=25#
#{{y}_{V}}=\frac{-\Delta }{4a}\Rightarrow {{y}_{V}}=\frac{-25}{4.\,1}\Rightarrow {{y}_{V}}=\frac{-25}{4}#
 

Exemplo: Encontre o valor de k de modo que a função #f\left( x \right)=\,-{{x}^{2}}-2x+k# tenha 3 como valor máximo.
 
#\Delta ={{\left( -2 \right)}^{2}}-4\,.\,\left( -1 \right)\,.\,\left( k \right)#
#\Delta =4+4k#
#{{y}_{V}}=\frac{-\Delta }{4a}\Rightarrow \frac{-\left( 4+4k \right)}{4.\,\left( -1 \right)}=3\Rightarrow -4-4k=-12\Rightarrow -4k=-8\Rightarrow k=2#
 

Imagem da função quadrática

O conjunto imagem de uma função quadrática é obtido pelo conjunto de valores que y possa assumir. 
 
  • Para #a>0# é #\operatorname{Im}\left( f \right)=\left\{ y\in IR/y\ge {{y}_{V}} \right\}#.
 
  • Para #a<0# é #\operatorname{Im}\left( f \right)=\left\{ y\in IR/y\le {{y}_{V}} \right\}#.
 
Exemplo: Calcule o conjunto imagem da função #f\left( x \right)=\,{{x}^{2}}-5x+6#. 
 
Resolução :
 
#\Delta ={{\left( -5 \right)}^{2}}-4\,.\,1\,.\,\left( +6 \right)=25-24=1>0#  Tem duas raízes reais e distintas.
 
#{{y}_{V}}=\frac{-\Delta }{4a}\Rightarrow \frac{-1}{4.\,1}=\frac{-1}{4}#
 
#a=1>0# (concavidade para cima)
 
#\operatorname{Im}\left( f \right)=\left\{ y\in IR/y\ge \frac{-1}{4} \right\}#
Já é cadastrado? Faça o Login!