Texto: Potenciação (9º Ano)

Potenciação (9º Ano)

A ideia de potência surgiu no século III a.C com Arquimedes, quando ele tentava responder à seguinte pergunta: quantos grãos de areia cabem no universo? Durante muito tempo ele se dedicou à busca pela resposta a essa pergunta. O resultado foi um número muito grande que, após analisado, foi escrito por Arquimedes de forma resumida, por meio da potência de base 10. Ele descobriu que seriam necessários  10 63 grãos de areia.

Neste tópico, iremos aprender a transformar números muito grandes e muito pequenos em potências de base 10. As potências de base 10 são utilizadas nas notações cientificas. Também iremos relembrar as propriedades da potenciação no conjunto dos números reais, pois estas nos auxiliam na resolução de problemas, tornando os cálculos mais simples.
 
Arquimedes de Siracusa (287 a.C. a 212 a.C.)


Potenciação

Sabemos que potenciação representa a multiplicação de fatores iguais. 

Os elementos de uma potenciação são:
 
  • A base: o fator que se repete.
  • O expoente: a quantidade de vezes que se repete a base na multiplicação.
  • Potência: o resultado da multiplicação.
 
Observe: 
 
 

Potência com Expoente Natural

Para relembrar a potência com expoente natural, vamos analisar uma situação problema.

(PUC-MG - adaptada) - O número de bactérias em um meio duplica de hora em hora. Se, inicialmente, existem 8 bactérias no meio, ao fim de 10 horas o número de bactérias será:

a) 2 4
b) 2 7
c) 2 10
d) 2 13

Considere t representando o tempo de duplicação.  Assim, para:

t = 0, o número de bactérias será: 8
t = 1, o número de bactérias será: 8 . 2 = 16
t = 2, o número de bactérias será: 8 . 2 . 2 = 32
t = 3, o número de bactérias será: 8 . 2 . 2 . 2 = 64

E assim por diante.

Observe que o número de bactérias é encontrado resolvendo-se 8 . 2 t.
Logo, para t = 10, teremos o número de bactérias igual a  8 . 2 10 (I).
Sabemos que 8 = 2 3. Substituindo em (I), temos 2 3· 2 10.
Pela propriedade intitulada multiplicação de potências de mesma base, o resultado será 2 13.
Portanto, o número de bactérias após 10 horas será de 2 13.


Potência de Expoente Inteiro Negativo

Observe a divisão:

A divisão 5 3:5 7 pode ser resolvida utilizando-se a propriedade intitulada divisão de potências de mesma base. Assim:
 
    
Quando resolvemos a divisão pela definição de potenciação, vimos que 
 

Note que calcular a potência de base real não nula com expoente inteiro negativo é igual ao cálculo da potência em que a base é o inverso da base inicial e o expoente terá o sinal trocado do expoente inicial.
 

Atenção!

Quando elevamos um número real não nulo a um expoente inteiro negativo, essa potência terá o mesmo resultado da potência em que a base é o inverso da base inicial e o expoente é o oposto do expoente inicial.
Generalizando,
,
em que a é um número real não nulo e p, um número inteiro.
 

Potência com Base 10

Observe os exemplos em que a base é 10:
 

Atenção!

Na potenciação em que a base é 10 e o expoente é um número natural, a potência terá o algarismo 1 “aumentado” do número de zeros à direita, tantas casas quanto indicar o expoente da base 10.

Na potenciação em que a base é 10 e o expoente é um número inteiro negativo, iremos deslocar a vírgula que está depois do algarismo 1 para a esquerda, tantas casas quanto indicar o expoente da base 10.
 
A potência de base 10 é muito utilizada nas notações científicas, pois podemos representar números muito pequenos e números absurdamente grandes de forma simplificada.

Observe os exemplos:
 
  • A distância da Terra à Lua mede aproximadamente 384.000.000 m. No número 384.000.000, a vírgula está final. Vamos deslocar a vírgula para a esquerda, deixando-a depois do algarismo 3.
 

Atenção!

Quando o número é muito grande, deslocamos a vírgula do último algarismo para a esquerda. O expoente da base 10 será a quantidade de casas deslocadas.
 
  • A excentricidade da órbita da Lua é de 0,0549. 
A vírgula será deslocada duas casas para a direita. 
 
    
Observe que o expoente foi o oposto de 2.
 

Atenção!

Quando o número é muito pequeno, deslocamos a vírgula para a direita. O expoente da base 10 será o oposto do número que corresponde à quantidade de casas deslocadas.
 

Propriedades da Potenciação em R

Vamos relembrar os estudos das propriedades de potenciação no conjunto dos números reais. 
 
Potência com Base Real e Expoente 1
 
 
 
Note que, nos exemplos acima, o resultado das potências com expoente 1 é sempre a base.
 

Atenção!

Na potenciação com base real e expoente 1, a potência será a própria base. Generalizando,  a1=a, em que a é um número real não nulo.


Potência com Base Real Não Nula e Expoente 0 (zero)

 
Note que, nos exemplos acima, o resultado das potências com expoente zero é sempre 1.
 

Atenção!

Na potenciação com base real não nula e expoente zero, a potência será sempre 1.  Generalizando, a 0=1, em que a é um número real não nulo.
 
Multiplicação de Potências de Mesma Base
 

Note que os resultados das multiplicações, nesse momento, foram obtidos conservando-se a base e somando-se os expoentes. 
 

Atenção!

Quando multiplicamos duas potências de mesma base real não nula, conservamos a base e somamos os expoentes. 
Generalizando, a p∙a q=a p+q, em que a é um número real não nulo e p e q dois números inteiros.
 
 
Divisão de Potências de Mesma Base
 
 
 

Note que os resultados das divisões, nesse momento, foram encontrados conservando-se a base e subtraindo-se os expoentes.
 

Atenção!

Quando dividimos duas potências de mesma base real não nula, conservamos a base e subtraímos os expoentes. 
Generalizando, a p:a q=a p-q, em que a é um número real não nulo e p e q, dois números inteiros.
 
Potência de uma Potência
 

Note que os resultados das potências elevadas a um expoente foram encontrados conservando-se a base e multiplicando-se os expoentes.
 

Atenção!

Quando calculamos uma potência de base real não nula elevada a um expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes. 
Generalizando, (a p ) q = a p∙q, em que a é um número real não nulo e p e q, dois números inteiros.
 
Potência de um Produto

Observe a potência de um produto:
 
 
Essa potência de um produto pode ser resolvida da seguinte forma:  

(5.6) 4=5 4∙6 4

Observe que, quando elevamos o produto de dois ou mais fatores a um mesmo expoente, podemos elevar cada um dos fatores a esse expoente.
 

 Atenção!

Quando elevamos uma multiplicação de fatores reais não nulos a um mesmo expoente, podemos elevar cada um dos fatores a esse expoente. 
Generalizando,(a∙b) p=a p.b p, em que a e b são números reais não nulos e p, um número inteiro.
 
Potência de um Quociente
 
 
Essa potência de um quociente pode ser resolvida da seguinte forma:  
 

Note que, elevando uma divisão a um expoente, podemos elevar o numerador e o denominador a esse expoente que o resultado será o mesmo.
 

Atenção!

Quando elevamos uma divisão de termos reais não nulos a um mesmo expoente, podemos elevar cada um dos termos a esse expoente.
Generalizando,(a:b) p=a p:b p, em que a e b são números reais não nulos e p, um número inteiro.

Em resumo

Neste tópico, estudamos as propriedades da potenciação no conjunto dos números reais e aprendemos a transformar números absurdamente grandes ou muito pequenos em potência de 10, utilizando a notação científica. Quando o número é muito grande, deslocamos a vírgula do último algarismo para a esquerda, e o expoente da base 10 será a quantidade de casas deslocadas. Quando o número é pequeno, deslocamos a vírgula para a direita, e o expoente será o oposto do número que indica quantidade de casas deslocadas.
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