Texto: Função Quadrática

Função Quadrática

Já estudamos as funções do 1º grau. Agora, neste tópico, iremos estudar as funções do 2º grau, também denominada função quadrática. Os conceitos de funções quadráticas são importantes em várias áreas: no comércio, busca-se sempre a quantidade mínima de produtos a ser vendidos; na física, calcula-se a altura máxima de um projétil etc.
 
 
Neste tópico, iremos aprender a calcular as raízes, a construir o gráfico e a calcular as coordenadas dos vértices de uma função quadrática.
 

Função Quadrática

O time de futebol “Vencedor” da rua Feliz criou uma bandeira no formato retangular. No interior da bandeira terá um retângulo de dimensões 60 cm e 40 cm, onde será escrito o nome do time, e que será contornado com uma renda de largura, conforme a figura abaixo: 
 
 
Podemos expressar a área total da bandeira a ser confeccionada em função de #x#.

Observe que as dimensões totais da bandeira são: \[\left( 2x+40 \right)\] e \[\left( 60+2x \right)\].

Portanto, a lei da função que expressa a área em função de\[x\]é:  
 
 
A função #f\left( x \right)=4x{}^\text{2}+200x+2400# é um exemplo de função quadrática.

Note que, nesse exemplo, #x# representa medida, logo não pode assumir valores negativos.

Caso a renda tenha 5 cm de largura, podemos, com isso, calcular a área total pela função, na qual #x=5#.

Acompanhe: 
 

            
Portanto, se a largura da renda for 5 cm, a área total da bandeira será 3.500 cm2, que é equivalente a 35 m 2.
 
 

Atenção!

  • #ae~~b~#, nessa ordem, são coeficientes dos termos #{{x}^{2}}e~~x#;
  • #c# é o termo independente;
  • #x#é a variável independente;
  • #y=f(x)#é a variável dependente.
Exemplos de funções quadráticas:
  • #f(x)=-{{x}^{2}}+4x+9#. Nessa função, temos: #a=-1,~~b=4e~~c=9#.
  • #g(x)=3{{x}^{2}}-5x+\frac{1}{2}#. Nessa função, temos: #a=3,~~b=-5e~~c=\frac{1}{2}#.
  • #h(x)=\frac{2}{3}{{x}^{2}}+x-5#. Nessa função, temos: #a=\frac{2}{3},~~b=1e~~c=-5#.
  • #f(x)=-10{{x}^{2}}#. Nessa função, temos: #a=-10,~~b=0e~~c=0#.
  • #f(x)=\sqrt{5}{{x}^{2}}+2x#. Nessa função, temos: #a=\sqrt{5},~~b=2e~~c=0#.
 

Representação Gráfica de uma Função

O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada parábola.

Para fazer o gráfico da função quadrática, vamos construir uma tabela atribuindo alguns valores para #x# e, em seguida, calculamos os valores correspondentes a #y#, obtendo os pares ordenados #\left( x,y \right)#. 

Por último, vamos localizar os pares ordenados no plano cartesiano e traçar a curva que une os pontos.  
 
Vamos construir o gráfico da função #f\left( x \right)=3{{x}^{2}}#.

Construindo a tabela:
 
 
 
Localizando os pares ordenados no plano cartesiano.
 
 
Note que o eixo #y# é o eixo de simetria da parábola #y=3{{x}^{2}}#, pois, se dobrarmos a parábola exatamente no eixo #y#, os pontos determinados pelos pares ordenados #\left( -2,12 \right)# e #\left( 2,12 \right)#, #\left( -1,3 \right)# e #\left( 1,3 \right)# irão coincidir.
 

Atenção!

A concavidade de uma parábola pode ser voltada para cima ou para baixo. Para determinar sua posição, iremos verificar o coeficiente . 
 
  • Se #a>0#, a concavidade será voltada para cima.
  • Se #a<0#, a concavidade será voltada para baixo.
A parábola possui um eixo de simetria. A interseção desse eixo com a parábola determina o vértice.
 

Zeros ou Raízes de uma Função Quadrática

Para determinar ou zeros ou raízes de uma função quadrática, teremos que verificar para quais valores #x# temos #f\left( x \right)=0#.

Acompanhe a situação:

O custo diário da produção de calculadoras é dado pela função #C\left( x \right)={{x}^{2}}-66x+1025#, em que #C\left( x \right)# é o custo em reais, e x é o número de calculadoras fabricadas. 
 
 
Vamos determinar a quantidade de calculadoras que deverão ser produzidas para que o custo seja zero, isto é, #C\left( x \right)=0#. Assim:
 
     

Observe que temos uma equação do 2º grau, com #a=1,~~b=-66e~~c=1025#.
 
Aplicando a fórmula resolutiva, iremos determinar os valores de #x#.
        
        
                   
Portanto, #C\left( x \right)=0# quando forem produzidas 25 ou 41 calculadoras.

Se construirmos o gráfico da função #C\left( x \right)={{x}^{2}}-66x+1025#, iremos perceber que essa função intercepta o eixo #x#em dois pontos distintos.
 

Atenção!

Quando calculamos os zeros ou raízes de uma função quadrática, verificamos em quantos pontos o gráfico intercepta o eixo #x#. Assim:
  • #\Delta >0#: a parábola intercepta o eixo #x# em dois pontos distintos, pois terá duas raízes reais distintas:#x'~\ne x''#.
  • #\Delta =0#: a parábola intercepta o eixo #x# em um único ponto, pois terá raízes reais iguais: #x'~=x''#.
  • #\Delta <0#: a parábola não intercepta o eixo #x#, pois não terá raízes reais. 


Vértices da Parábola    

Vimos que o vértice da parábola é a interseção desta com o eixo de simetria. As coordenadas dos vértices #V\left( {{x}_{v}},{{y}_{v}} \right)# podem ser calculadas pelas seguintes fórmulas:
 
#{{x}_{v}}=-\frac{b}{2a}# e #{{y}_{v}}=-\frac{\Delta }{4a}#

Vamos calcular as coordenadas dos vértices da função custo #C\left( x \right)={{x}^{2}}-66x+1025#, estudada no item 3.
 
Na função #C\left( x \right)={{x}^{2}}-66x+1025#, temos #a=1,~~b=-66e~~c=1025# e #\Delta =256#. Assim:
 
 
Portanto, a coordenada do vértice é #V\left( 33,-64 \right)#.
 
Como a concavidade da parábola #C\left( x \right)={{x}^{2}}-66x+1025# é voltada para cima, pois #a>0#, o vértice #V\left( 33,-64 \right)# é o valor mínimo da função, ou seja, quando se produzirem 33 calculadoras, o menor custo será de 64 reais. 
 

Atenção!

Quando a parábola tem concavidade voltada para cima, o vértice representa o ponto mínimo e, quando a concavidade está voltada para baixo, o vértice representa o ponto máximo.
 

Em Resumo

Neste tópico, vimos que as funções quadráticas são do tipo #f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c#, com a, b e c números reais e #a\ne 0#. Para construir o gráfico de uma função quadrática, precisamos encontrar as coordenadas do vértice, as raízes da função e analisar o coeficiente da função dada. O gráfico é uma curva denominada parábola.


Referências

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GARBI, Gilberto G. Para que serve isso?. Revista do Professor de Matemática, Rio de Janeiro, n.63, p.1-5, 2007.
BOTELHO, L. Um breve histórico do conceito de função. Disponível em: http://www.uff.br/dalicenca/images/stories/caderno/volume6/UM_BREVE_HISTRICO_DO_CONCEITO_DE_FUNO.pdf
GUELLI, O. Equação: o idioma da álgebra. São Paulo: Ática, 1999. (Coleção Contando a História da Matemática).
PROGRAMA NACIONAL DO LIVRO DIDÁTICO. Guia de livros didáticos de 5ª à 8ª série. 1999. Brasília: MEC, 1999. 
MOISÉS, R. P.; LIMA, L. C. Sistema de equações. Disponível em: http://educacao.uol.com.br/matematica/historia-da-matematica-2-sistema-de-equacoes.jhtm
FACULDADES ADAMANTINENSES INTEGRADAS/PIBID. Banco de questões Saresp. Adamantina: s/ed., 2012. Disponível em: http://www.fai.com.br/portal/pibid/adm/atividades_anexo/0961110af685f73c2eb640797a529828.pdf
POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.
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