Texto: Módulo de um Número Real

Módulo de um Número Real

 
O módulo de um número real x é denotado por #\left| x \right|# e definido por #\left| x \right|=\left\{ \begin{matrix}
   -x\,,\,\,\,se\,\,\,x<0  \\
   x\,,\,\,\,se\,\,\,x\ge 0  \\
\end{matrix} \right.#.
 
 

Atenção!

O módulo de um número real sempre é um valor positivo.
Veja abaixo alguns exemplos de módulos com números positivos e negativos:
 
#\left| 2 \right|=2#
 
#\left| -2 \right|=-\left( -2 \right)=2#
 
#\left| \frac{3}{4} \right|=\frac{3}{4}#
 
#\left| -\frac{1}{5} \right|=-\left( -\frac{1}{5} \right)=\frac{1}{5}#
 
#\left| \sqrt{7} \right|=\sqrt{7}#
 
#\left| -\sqrt{5} \right|=-\left( -\sqrt{5} \right)=\sqrt{5}#
 

O Módulo na Reta Real

Analisar o módulo de um número real x de forma geométrica na reta real é o mesmo que medir a distância do ponto 0 da origem ao número x, em qualquer posição que estiver.
 
Dado um valor a positivo (#a>0#), para quando #\left| x \right|>a#, #\left| x \right|\ge a#, #\left| x \right|<a# e #\left| x \right|\le a#, teremos o seguinte:

   
 
  
  
 
 
Exemplo 1
De acordo com a definição de módulo, determine:
 
a) #\left| 3x+1 \right|#, quando #x=2#.
b) #\left| -5x-2 \right|#, quando #x=-1#.
 
Resolução:
 
a) #\left| 3\,.\,2+1 \right|\Rightarrow \left| 6+1 \right|\Rightarrow \left| 7 \right|\Rightarrow +7#
b) #\left| -5\,.\,\left( -1 \right)-2 \right|\Rightarrow \left| +5-2 \right|\Rightarrow \left| +3 \right|\Rightarrow +3#
 

Exemplo 2
Escreva em forma de intervalo:
 
a) #\left| x \right|>3#
b) #\left| x \right|\ge 7#
c) #\left| x \right|<2#
d) #\left| x \right|\le \frac{15}{4}#

Resolução:
 
a) #\left| x \right|>3\Leftrightarrow x>3\,\,ou\,\,x<-3#
b) #\left| x \right|\ge 7\Leftrightarrow x\ge 7\,\,ou\,\,x\le -7#
c) #\left| x \right|<2\Leftrightarrow -2<x<2#
d) #\left| x \right|\le \frac{15}{4}\Leftrightarrow -\frac{15}{4}\le x\le \frac{15}{4}#
 
 

Em Resumo

Neste tópico aprendemos que o módulo de um número real é sempre um valor positivo. Aprendemos também como os módulos podem indicar diferentes intervalos em uma reta real.
 
 
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