Texto: Logaritmo

Logaritmo

 

Definição

O logaritmo de um número real e não negativo a na base b não negativa e diferente de 1 é igual a um número x se, e somente se, a base b elevada a x é igual a a.
 
#{{\log }_{b}}a=x\Leftrightarrow a={{b}^{x}}#
 
onde 
 
#a>0\,\,e\,\,b\ne 1\,\,e\,\,b>0#
 
Por exemplo,
 
#{{\log }_{3}}9=2#, pois #{{3}^{2}}=9#.
#{{\log }_{10}}1000=3#, pois #{{10}^{3}}=1000.#
 
 
 

Nomenclaturas

Na sentença #{{\log }_{b}}a=x#, temos as seguintes definições:
 
  • b é a base do logaritmo;
  • a é o logaritmando; e
  • x é o logaritmo de a na base b.


Casos Particulares da Definição de Logaritmo

  • #{{\log }_{b}}\left( 1 \right)=0#, o logaritmo de 1, em qualquer base, é sempre igual a zero.
 
  • #{{\log }_{b}}\left( b \right)=1#, todas as vezes que o logaritmando e a base forem os mesmos, o resultado é igual a 1.
 
  • #{{\log }_{b}}\left( {{b}^{n}} \right)=n#, todas as vezes que o logaritmando e a base forem os mesmos, e o logaritmando estiver elevado a um expoente, o resultado é sempre igual ao expoente.
 
  • #{{b}^{{{\log }_{b}}\left( x \right)}}=x#, quando a base do logaritmo e a base da potência forem as mesmas, o resultado é x.
 
  • #{{\log }_{b}}\left( x \right)={{\log }_{b}}\left( y \right)#, quando uma equação logarítmica tem uma igualdade de logaritmos de bases iguais, os logaritmandos também são iguais.
 
 

Propriedades dos Logaritmos

Logaritmo de um Produto

O logaritmo de um produto na base b é sempre igual à soma dos logaritmos dos fatores na mesma base b.
 
#{{\log }_{b}}\left( x\,.\,y \right)={{\log }_{b}}\left( x \right)\,+\,\,{{\log }_{b}}\left( y \right)# 

Por exemplo,
 
#{{\log }_{2}}\left( 8\,.\,32 \right)={{\log }_{2}}\left( 8 \right)\,+\,{{\log }_{2}}\left( 32 \right)={{\log }_{2}}\left( {{2}^{3}} \right)\,+\,{{\log }_{2}}\left( {{2}^{5}} \right)=3+5=8#
 


Logaritmo de um Quociente

O logaritmo de um quociente na base b é sempre igual à diferença dos logaritmos do dividendo e do divisor na mesma base b
 
#{{\log }_{b}}\left( \frac{x}{y} \right)={{\log }_{b}}\left( x \right)\,-\,\,{{\log }_{b}}\left( y \right)# 
 
Por exemplo,
 
#{{\log }_{3}}\left( \frac{243}{27} \right)={{\log }_{3}}\left( 243 \right)\,-\,{{\log }_{3}}\left( 27 \right)={{\log }_{3}}\left( {{3}^{5}} \right)\,-\,{{\log }_{3}}\left( {{3}^{3}} \right)=5-3=2#
 


Logaritmo de uma Potência

O logaritmo de uma potência na base b é sempre igual ao expoente vezes o logaritmo na base b.
 
#{{\log }_{b}}\left( {{x}^{n}} \right)=n\,.\,\,{{\log }_{b}}\left( x \right)# 
 
Por exemplo,
 
#{{\log }_{4}}\left( 1024 \right)={{\log }_{4}}\left( {{4}^{5}} \right)=5\,.\,\,{{\log }_{4}}\left( 4 \right)=5\,.\,1=5#
 
 
 

Mudança de Base

Quando temos um logaritmo #{{\log }_{y}}\left( x \right)# de base y e desejamos mudar para uma base b, basta fazer uma divisão de logaritmos de mesma base b em ambos, em que o logaritmando do numerador é x e o logaritmando do denominador é y.
 
#{{\log }_{y}}\left( x \right)=\frac{{{\log }_{b}}\left( x \right)}{{{\log }_{b}}\left( y \right)}# 
 
Por exemplo:
 
Sendo #{{\log }_{10}}\left( 5 \right)=0,6990# e #{{\log }_{10}}\left( 7 \right)=0,8451#, determine #{{\log }_{7}}\,\left( 25 \right)#:
 
Resolução:
 
#{{\log }_{7}}\,\left( 25 \right)=\frac{{{\log }_{10}}\,\left( {{5}^{2}} \right)}{{{\log }_{10}}\,\left( 7 \right)}=\frac{2\,.\,\,{{\log }_{10}}\,\left( 5 \right)}{{{\log }_{10}}\,\left( 7 \right)}=\frac{2\,.\,0,6990}{0,8451}=\frac{1,3980}{0,8451}=1,654242#
 


Exercícios Resolvidos

Para compreender melhor o conceito e as propriedades dos logaritmos, acompanhe os exercícios resolvidos abaixo.
 
Exercício 1
Resolva os logaritmos pela definição:
 
a) #{{\log }_{5}}25#
b) #{{\log }_{2}}8\sqrt[4]{2}#
c) #{{\log }_{10}}0,0001#
 
Resolução:
 
a) #{{\log }_{5}}25=x\Rightarrow {{5}^{x}}=25\Rightarrow {{5}^{x}}={{5}^{2}}\Rightarrow x=2#
Solução: #{{\log }_{5}}25=2#.
 
 
b) #{{\log }_{2}}8\sqrt[4]{2}=x\Rightarrow {{2}^{x}}=8\sqrt[4]{2}\Rightarrow {{2}^{x}}={{2}^{3}}.\,{{2}^{{}^{1}/{}_{4}}}\Rightarrow {{2}^{x}}={{2}^{3+{}^{1}/{}_{4}}}\Rightarrow {{2}^{x}}={{2}^{{}^{13}/{}_{4}}}\Rightarrow x=\frac{13}{4}#
Solução: #{{\log }_{2}}8\sqrt[4]{2}=\frac{13}{4}#.
 
c) #{{\log }_{10}}0,0001=x\Rightarrow {{10}^{x}}=0,0001\Rightarrow {{10}^{x}}={{10}^{-4}}\Rightarrow x=-4#
Solução: #{{\log }_{10}}0,0001=-4#.
 
 
Exercício 2
Dado #{{\log }_{b}}a=t#, encontre   nos casos a seguir:

a) #a=512$ e $b=2\sqrt{2}#
b) #a=3125# e #b=5\sqrt[3]{5}#
 
Resolução:
 
Com #a=512# e #b=2\sqrt{2}#, o log fica:
#{{\log }_{2\sqrt{2}}}512=t\Rightarrow {{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{t}}=512\Rightarrow {{\left( {{2}^{1+\frac{1}{2}}} \right)}^{t}}={{2}^{9}}\Rightarrow {{\left( {{2}^{\frac{3}{2}}} \right)}^{t}}={{2}^{9}}\Rightarrow {{\left( 2 \right)}^{\frac{3t}{2}}}={{2}^{9}}\Rightarrow #
#\Rightarrow {{\left( 2 \right)}^{\frac{3t}{2}}}={{2}^{9}}\Rightarrow \frac{3t}{2}=9\Rightarrow 3t=18\Rightarrow t=6#
 
Com #a=3125$ e $b=5\sqrt[3]{5}#, o log fica:
#{{\log }_{5\sqrt[3]{5}}}3125=t\Rightarrow {{\left( 5\sqrt[3]{5} \right)}^{t}}=3125\Rightarrow {{\left( {{5}^{1+\frac{1}{3}}} \right)}^{t}}={{5}^{5}}\Rightarrow {{\left( {{5}^{\frac{4}{3}}} \right)}^{t}}={{5}^{5}}\Rightarrow {{\left( 5 \right)}^{\frac{4t}{3}}}={{5}^{5}}\Rightarrow #
#\Rightarrow {{\left( 5 \right)}^{\frac{4t}{3}}}={{5}^{5}}\Rightarrow \frac{4t}{3}=5\Rightarrow 4t=15\Rightarrow t=\frac{15}{4}#
 

Exercício 3
Determine o valor da soma #S={{\log }_{3}}9\sqrt[3]{9}-{{\log }_{10}}0,01+{{\log }_{2}}\sqrt[6]{4}#.
 
Resolução:
 
#S={{\log }_{3}}9\sqrt[3]{9}-{{\log }_{10}}0,01+{{\log }_{2}}\sqrt[6]{4}#
 
Resolvendo cada termo separadamente:
 
#{{\log }_{3}}9\sqrt[3]{9}=x\Rightarrow {{3}^{x}}={{3}^{2+\frac{2}{3}}}\Rightarrow {{3}^{x}}={{3}^{\frac{8}{3}}}\Rightarrow x=\frac{8}{3}#
#{{\log }_{10}}0,01=t\Rightarrow {{10}^{t}}={{10}^{-2}}\Rightarrow t=-2#
#{{\log }_{2}}\sqrt[6]{4}=y\Rightarrow {{2}^{y}}={{2}^{\frac{2}{6}}}\Rightarrow {{2}^{y}}={{2}^{\frac{1}{3}}}\Rightarrow y=\frac{1}{3}#
 
Substituindo os valores em cada termo, teremos:
 
#S=\frac{8}{3}-\left( -2 \right)+\frac{1}{3}\Rightarrow S=\frac{8}{3}+\frac{1}{3}+2\Rightarrow S=\frac{9}{3}++2\Rightarrow S=3+2\Rightarrow S=+5#
 
 
 

Em Resumo

Neste tópico você aprendeu o que é um logaritmo. Viu também como calcular o logaritmo de um produto, de um quociente e de uma potência, além de aprender uma técnica simples para substituição de bases. Usando essas propriedades, você pode resolver diversos problemas envolvendo logaritmos.
 
 
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