Texto: Circunferências e Círculos

Circunferências e Círculos

As características e as propriedades referentes a círculos e circunferências já eram estudadas na Antiguidade. O primeiro matemático a encontrar a medida da circunferência da Terra com o valor mais próximo do atual foi Erastóstenes.

As formas circulares podem ser observadas em diversas situações da vida cotidiana: na natureza, nas artes, em objetos, nas brincadeiras etc.

   
 
As imagens acima nos dão a ideia de circunferências e círculos.

Neste tópico, vamos estudar circunferências e círculos.


Circunferência e Círculo

Circunferência é uma figura geométrica formada por uma linha fechada, cujos pontos distam igualmente de um ponto fixo O, denominado centro.
 
 
Os elementos de uma circunferência são:
 
  • Raio: é o segmento que une o centro a qualquer ponto da circunferência. Os segmentos #\overline{OU},\overline{OP},\overline{OQ},\overline{OA},\overline{OV}#e #\overline{OR}# representam os raios. O raio pode ser indicado por: #r#.
 
  • Corda: é um segmento com extremidades em pontos distintos da circunferência. Os segmentos #\overline{QP},\overline{VA}# e #\overline{TS}# representam as cordas.
 
  • Diâmetro: é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Os segmentos #\overline{QP}# e #\overline{VA}# representam os diâmetros. O diâmetro será indicado por #D#.
 
Observe que a medida do diâmetro #\overline{QP}# é duas vezes a medida do raio #r#. Então: #D=2r#.
 
 
O círculo é uma figura geométrica formada pela união da circunferência com sua região interna.
 
 

Posições de um Ponto e de uma Reta em uma Circunferência

Posições de um Ponto em uma Circunferência


Em relação à circunferência, um ponto pode ser interno, externo ou pertencer à circunferência. 
 
  • O ponto é interno à circunferência quando a distância (#d#) do centro O a esse ponto for menor que o raio. O ponto #A# é um ponto interno, pois #d<r#.
 
  • O ponto é externo à circunferência quando a distância (#d#) do centro O a esse ponto for maior que o raio. O ponto #B# é um ponto externo, pois #d>r#.
 
  • O ponto pertence à circunferência quando a distância (#d#) do centro O a esse ponto for igual ao raio. O ponto #C# pertence à circunferência, pois #d=r#.
 

Posições de uma Reta em uma Circunferência

Em relação à circunferência, uma reta pode ser secante, tangente ou externa.
  • A reta secante à circunferência intercepta em dois pontos distintos a circunferência.
A distância #\left( d \right)#do centro #O# à reta é menor que o comprimento do raio #\left( r \right)#.
 
  • A reta tangente à circunferência intercepta em um único ponto a circunferência.
No ponto T de tangência, a reta é perpendicular ao raio.
A distância #\left( d \right)# do centro #O# à reta #t# é igual ao comprimento do raio#\left( r \right)#.
 
  • A reta externa à circunferência não tem ponto em comum com a circunferência.
A distância #\left( d \right)# do centro #O# à reta #e# é maior que o comprimento do raio #\left( r \right)#.
 
 

Posições Relativas entre Duas Circunferências

Em um plano, duas circunferências podem ser secantes, tangentes externas, tangentes internas, externas e internas.
 
  • Circunferências secantes
 
As circunferências são secantes quando têm dois pontos comum.  
 
As circunferências de centros O e P interceptam-se nos pontos A e B. A distância entre os centros O e P é menor que a soma das medidas dos raios e maior que a diferença das medidas dos raios dessas circunferências: #{{r}_{1}}{{r}_{2}}<\text{ }d\text{ }<\text{ }{{r}_{1}}+\text{ }{{r}_{2}}#.
 
  
 
  • Circunferências tangentes externas
 
As circunferências tangentes externas interceptam-se em um único ponto, ocorrendo a tangência externamente. 
 
As circunferências de centros O 1 e P 1 interceptam-se no ponto C. A distância entre os centros O1 e P1 é igual à soma das medidas dos raios dessas circunferências: #d\text{ = }{{r}_{1}}+\text{ }{{r}_{2}}#.
 
 
 
 
  • Circunferências tangentes internas
As circunferências tangentes internas interceptam-se em único ponto, ocorrendo a tangência internamente. 
    
 
As circunferências de centros O 2 e P 2 interceptam-se no ponto E. A distância entre os centros O 2 e P 2 é igual à diferença das medidas dos raios dessas circunferências: #d\text{ = }{{r}_{1}}\text{- }{{r}_{2}}#.
 
 
  • Circunferências externas

As circunferências externas não se interceptam.

As circunferências de centros O 3 e P 2 não têm ponto em comum. A distância entre os centros O 3 e P 2 é maior que a soma das medidas dos raios dessas circunferências: #d\text{  }{{r}_{1}}+\text{ }{{r}_{2}}#.
 
 
  • Circunferências internas
 
As circunferências internas não se interceptam.

As circunferências de centros O 4 e P 4 não têm ponto em comum. A distância entre os centros O 4 e P 4 é menor que a diferença das medidas dos raios dessas circunferências: #d\text{  }{{r}_{1}}\text{- }{{r}_{2}}#.
 

Atenção!

Quando as circunferências internas têm o mesmo centro, dizemos que elas são concêntricas. A distância dos centros O e P é igual a zero: #d\text{ = 0}#. 
 

Em Resumo

Neste tópico, aprendemos a diferença entre círculo e circunferência. Aprendemos as posições relativas de uma reta, de um ponto e de uma circunferência a uma circunferência dada, e que a distância entre esses elementos e o centro da circunferência dada varia. 
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