Texto: Triângulos

Triângulos

Os triângulos são polígonos de três lados e, em virtude de sua rigidez, estão presentes em diversas situações do nosso dia a dia.

Observe as situações em que a forma triangular é usada.
 
 
Neste tópico, iremos estudar as condições de existência, as classificações e as congruências dos triângulos.
 
 

Elementos de um Triângulo

Vimos que o polígono de três lados é denominado triângulo.

Observe o triângulo PQR.
 
Os elementos desse triângulo são:
  • Vértices: P, Q e R;
  • Lados: #\overline{PQ},\overline{QR}# e #\overline{PR}#;
  • Ângulos internos: #\hat{P},\hat{Q}# e #\hat{R}#;
  • Ângulos externos: #\hat{p},\hat{q}# e #\hat{r}#;
 

Atenção!

Em qualquer triângulo:  
  • a soma dos ângulos internos é 180°;
  • a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.
  • qualquer lado pode ser considerado como base.
  • o lado #\overline{PQ}#é oposto ao ângulo #\hat{R}#, o lado #\overline{QR}# é oposto ao ângulo #\hat{P}# e o lado #\overline{PR}#é oposto ao ângulo #\hat{Q}#.
 

Condição de Existência de um Triângulo

É possível, com quaisquer três segmentos, construir um triângulo?

Para responder a essa pergunta, vamos fazer uma experiência utilizando um espeto de churrasco.
 
 
Construa com os palitos, se possível, um triângulo de lados 5 cm, 8 cm e 12 cm e um triângulo de lados 3 cm, 5 cm e 12 cm.

Observe que é possível construir o triângulo de lados 5 cm, 8 cm e 12 cm. 
 
 
 
Já com as medidas 3 cm, 5 cm e 12 cm, não é possível formar o triângulo.
 

Com isso, respondemos a pergunta feita no início deste tópico, ou seja, não é possível formar triângulos com três segmentos quaisquer.
 

Atenção!

Em qualquer triângulo, a medida de um lado é sempre menor que a soma das medidas dos outros dois lados. Exemplos:
 
  • É possível construir um triângulo com lados medindo 2 cm, 3 cm e 9 cm?
2 cm + 3 cm = 5 cm < 9 cm
2 cm + 9 cm = 11 cm > 3 cm
3 cm + 9 cm = 12 cm > 2 cm

Como 2 + 3 = 5 < 9, não é possível construir o triângulo, pois o terceiro lado é maior que a soma dos outros dois lados.
 
  • É possível construir um triângulo com lados medindo 5 cm, 7 cm e 10 cm?
5 cm + 7 cm = 12 cm > 10 cm
5 cm + 10 cm = 15 cm > 7 cm
7 cm + 10 cm = 17 cm > 5 cm
 
Portanto, é possível construir o triângulo.
 

Classificação de Triângulos

Os triângulos classificam-se quanto à medida de seus lados e de seus ângulos.

Conforme a medida dos lados, o triângulo pode ser:
 
  • Equilátero: os três lados têm a mesma medida.
#p=q=r#
 
  • Isósceles: dois dos lados são congruentes. 
#p=q#
    
  • Escaleno: os três lados têm medidas diferentes.
#p\ne q#, #p\ne r#e #q\ne r#

Quanto à medida dos ângulos, o triângulo classifica-se em:
 
  • Acutângulo: os três ângulos são agudos.
#\alpha <90{}^\circ ,\beta <90{}^\circ #e #\delta <90{}^\circ #
 
  • Retângulo: um dos ângulos é reto    
#\alpha =90{}^\circ #
 
 
  • Obtusângulo: um dos ângulos é obtuso.
#90{}^\circ <\alpha <180{}^\circ #
 
    

Congruência de Triângulos

Quando sobrepomos duas figuras geométricas, dizemos que elas são congruentes.
 
As figuras 1 e 2 são congruentes, pois sobrepostas, coincidem.
 
Para verificar se duas figuras são congruentes, não precisamos sobrepor uma à outra. Basta verificarmos se seus lados e ângulos são correspondentes, ou congruentes.

Dois triângulos, ABC e A’B’C’, são congruentes quando têm lados correspondentes e congruentes e os ângulos correspondentes e congruentes. Notação: #\Delta ABC\equiv \Delta A'B'C'# (lê-se: triângulo ABC congruente com o triangulo A’B’C’).
 
Para verificar se dois triângulos são congruentes, basta analisarmos três medidas, segundo os casos a seguir.
 
  • 1º caso: Lado, Lado, Lado (LLL)
Se dois triângulos têm três lados respectivamente congruentes, então os triângulos são congruentes.
 
 
 
  • 2º caso: Lado, Ângulo, Lado (LAL) 
Se dois triângulos têm dois de seus lados correspondentes e o ângulo formado por esses dois lados congruentes tem a mesma medida, então os triângulos são congruentes.
 
 
                      
  • 3º caso: Lado, Ângulo, Ângulo oposto (LAAo)
Se dois triângulos têm um lado, um ângulo adjacente a esse lado e o ângulo oposto a esse mesmo lado congruentes, então os triângulos são congruentes. 
 
 
 
  • 4º caso:  Ângulo, Lado, Ângulo (ALA)
Se dois triângulos têm um lado e dois ângulos adjacentes congruentes, então os triângulos são congruentes.
 
 
 

Em Resumo

Neste tópico, estudamos algumas propriedades de triângulos que irão nos auxiliar no desenvolvimento de atividades que envolvam triângulos. Vimos que só é possível construir um triângulo quando a medida de um lado for sempre menor que a soma das medidas dos outros dois lados. Para verificar se dois triângulos são congruentes, basta analisarmos se ocorre um dos quatro casos: LLL, LAL, ALA, LAA O.
 

Referências

BORIN, J. Jogos e resoluções de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática. v.6. São Paulo: Caem/USP, 2004. 
CASTRUCCI, B. Fundamentos da Geometria. Rio de Janeiro: Livros técnicos e Científicos, 1978.
GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.
SISTEMA DE AVALIAÇÃO EDUCACIONAL. Apostila de Língua Portuguesa e Matemática: 9º Ano do Ensino Fundamental. 2013. Disponível em: http://semed.palmas.to.gov.br/saep/public/saep/arquivosdownload/apostila_2013_9ano.pdf
FACULDADES ADAMANTINENSES INTEGRADAS/PIBID. Banco de questões Saresp. Adamantina: s/ed., 2012. Disponível em: http://www.fai.com.br/portal/pibid/adm/atividades_anexo/0961110af685f73c2eb640797a529828.pdf
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