Texto: Função Polinomial do 2º Grau

Função Polinomial do 2º Grau

 

Descobrindo as Parábolas

Função do segundo grau não deixa de ser uma função. A diferença é que, agora, a variável em questão (no nosso caso x) estará elevada ao quadrado. Antes, tínhamos que uma função do 1°grau era dada por f ( x) = ax + b . Agora, por ser uma função do 2° grau, iremos representá-la genericamente como #f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c#, com a, b e c reais, com a diferente de zero. 
 
A representação gráfica de uma função do 1° grau era uma reta. Qual seria a representação gráfica de uma função do 2° grau?
 
Entendamos o que acontece abaixo:
 
Considere a função f( x) = x2 + 2 x + 1 . Iremos agora montar uma tabela de valores relacionando os valores entre x e y.
 
 
 
 

Encontramos, então, os pontos (0,1), (1, 4), (2, 9), (3, 16), (4, 25). Agora, vamos colocá-los no gráfico:

 
 
Note que não existe alinhamento dos pontos. Sendo assim, o gráfico não será uma reta. Utilizamos apenas os valores positivos de x. Iremos agora utilizar os valores negativos de x.
 
 
Encontramos, então, os pontos (0,1), (–1,0), (–2, 1), (–3, 4), (–4, 9). Vamos, agora, colocá-los no gráfico:
 
 
 

 
 
Ligando os pontos:
 
 
 
 

Essa representação gráfica recebe o nome de parábola. Todo gráfico de equação do segundo grau será representado por uma parábola, visto que todo número ao quadrado (seja positivo ou negativo) resulta em um número positivo. Logo, existirá um eixo de simetria que dividirá a parábola em duas regiões idênticas e simétricas.
 
Consideremos agora a função #f(x)=-{{x}^{2}}+2x+1#. Iremos montar uma tabela de valores relacionando os valores entre x e y.
 
 
 
 
Jogando tais pontos no gráfico, teremos que:
 
 
 
 
Note que o gráfico ficou invertido em relação ao gráfico anterior. Isso ocorreu porque o sinal que acompanha o fator x 2 é negativo. 
 
Em resumo:
 
Seja a função #f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c#, com a, b e c reais, com a diferente de zero. 
 
  • Se a > 0, a parábola será voltada para cima.
 
  • Se a < 0, a parábola será voltada para baixo.
 
Observando o gráfico construído a partir da função #f(x)=-{{x}^{2}}+2x+1#
 
 
 

Perceba que o gráfico corta o eixo y e o eixo x nos pontos assinalados acima. Os pontos marcados no eixo x são chamados de raízes ou zeros da função. Já, no eixo y, o ponto é chamado de coeficiente linear.
 
O coeficiente linear é determinando tomando-se x = 0. Note que o ponto marcado no eixo y mostra que ele não se deslocou no eixo x nem para a esquerda nem para a direita. Tomando x = 0, teremos que #f(0)=a\cdot {{0}^{2}}+b\cdot 0+c=c#, ou seja, o termo independente de x será o coeficiente linear.
 
 
 
 


Raízes de uma função do 2° grau

Uma função do 2° grau, assim como equações do 2º grau, podem ter zero, uma ou duas raízes. Podemos fazer tal análise por meio do discriminante, assim como fazíamos com as equações.
 
  • Se ∆ > 0, a função terá duas raízes e, com isso, a parábola interceptará o eixo x em dois pontos.
 
 
 
 
  • Se ∆ = 0, a função terá uma raiz e, portanto, a parábola interceptará o eixo x em apenas um ponto.
 
 
 
 
  • Se ∆ < 0, a função não possuirá raízes reais e, portanto, a parábola não interceptará o eixo x.
 
 
 
 
 

Para calcularmos as raízes de uma função do 2° grau, basta a igualarmos a zero, transformando-a, momentaneamente, em uma equação do 2° grau.
 
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