Texto: Razão de Secção e Condição de Alinhamento de Três Pontos

Razão de Secção e Condição de Alinhamento de Três Pontos

Por meio da aplicação de determinante de uma matriz, podemos dizer se três pontos quaisquer do plano pertencem a uma mesma reta, ou, em outras palavras, se eles estão alinhados.
 
Em alguns casos, não interessa dividir um segmento apenas ao meio e determinar seu ponto médio. Pode-se desejar dividir um segmento em três ou mais partes iguais ou estabelecer uma determinada razão de secção.
 

Condição de Alinhamento

Um dos mais famosos postulados da Geometria plana estabelece que por dois pontos distintos de um plano pode ser traçada uma única reta. Isso é irrefutável e, sob o ponto de vista analítico, sempre verdade.
 
Mas, e se forem 3 pontos!? É possível saber se dados 3 pontos e suas coordenadas cartesianas, eles estarão formando uma linha, ou seja, poderão pertencer à mesma reta?
 
A resposta para essas perguntas residem na condição de alinhamento de 3 pontos:
Três pontos #A\left( {{x}_{A}},{{y}_{A}} \right)#, #B\left( {{x}_{B}},{{y}_{B}} \right)# e #C\left( {{x}_{C}},{{y}_{C}} \right)# estarão alinhados se, e somente se,:
 

Exemplo:
 
Verifique se os pontos #A(0,0)\text{ }\text{, }B(1,1)\text{ e }C\left( 2,2 \right)# estão alinhados.
 

 
Isso prova que os três pontos estão alinhados. Observe que a reta em questão é a bissetriz do 1º e do 3º quadrantes na representação destes no sistema cartesiano.
 


Razão de Secção

Dados  #A\left( {{x}_{A}},{{y}_{A}} \right)#, #B\left( {{x}_{B}},{{y}_{B}} \right)#e #P\left( {{x}_{P}},{{y}_{P}} \right)#, pontos distintos de uma mesma reta, ou seja, pontos que estão alinhados, dizemos que o ponto P  divide #\overline{AB}# numa razão chamada razão de secção, indicada por:
 
#{{r}_{ABP}}=\frac{AP}{PB}#.
 
De forma geral, 
 
#{{r}_{ABP}}=\frac{AP}{PB}\to {{r}_{ABP}}=\frac{{{x}_{P}}-{{x}_{A}}}{{{x}_{B}}-{{x}_{P}}}=\frac{{{y}_{P}}-{{y}_{A}}}{{{y}_{B}}-{{y}_{P}}}#.
 

Exemplo: 
 
 
Dados #A(2,7)\text{ e }B(10,15)#, determine as coordenadas do ponto que divide o segmento #\overline{AB}# na razão #\frac{3}{5}#.
Seja #P\left( {{x}_{P}},{{y}_{P}} \right)#, então:
 
#{{r}_{ABP}}=\frac{AP}{PB}\to \frac{3}{5}=\frac{{{x}_{P}}-2}{10-{{x}_{P}}}\to 5{{x}_{P}}-10=30-3{{x}_{P}}\to {{x}_{P}}=5#
 
#{{r}_{ABP}}=\frac{AP}{PB}\to \frac{3}{5}=\frac{{{y}_{P}}-7}{15-{{x}_{P}}}\to 5{{y}_{p}}-35=45-3{{y}_{p}}\to {{y}_{p}}=10#
 
#P\left( {{x}_{P}},{{y}_{P}} \right)#=#P\left( 5,10 \right)#
 
 

Atenção!

Casos particulares da razão:
 
  • Caso #{{r}_{ABP}}=1#, têm-se que:
#1=\frac{AP}{PB}\to 1=\frac{{{x}_{P}}-{{x}_{A}}}{{{x}_{B}}-{{x}_{P}}}\to {{x}_{B}}-{{x}_{P}}={{x}_{P}}-{{x}_{A}}\to {{x}_{p}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2}#.
 
Da mesma forma, #{{y}_{p}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2}#.
 
Portanto, P seria o ponto médio entre A e B.
 
  • Caso #{{r}_{ABP}}=-1#, têm-se que:
#-1=\frac{AP}{PB}\to -1=\frac{{{x}_{P}}-{{x}_{A}}}{{{x}_{B}}-{{x}_{P}}}\to -{{x}_{B}}+{{x}_{P}}={{x}_{P}}-{{x}_{A}}\to {{x}_{B}}={{x}_{A}}#.
 
Da mesma forma, #{{y}_{B}}={{y}_{A}}#.
 
 Portanto, A = B.
 

Em Resumo

  • Três pontos #A\left( {{x}_{A}},{{y}_{A}} \right)#, #B\left( {{x}_{B}},{{y}_{B}} \right)#e #C\left( {{x}_{C}},{{y}_{C}} \right)# estarão alinhados se, e somente se,:
 
    
    
  • Razão de secção do ponto P sobre o segmento AB.
#{{r}_{ABP}}=\frac{AP}{PB}\to {{r}_{ABP}}=\frac{{{x}_{P}}-{{x}_{A}}}{{{x}_{B}}-{{x}_{P}}}=\frac{{{y}_{P}}-{{y}_{A}}}{{{y}_{B}}-{{y}_{P}}}#
 
    
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