Texto: Revisão: Sistemas de Equações

Revisão: Sistemas de Equações

Uma equação linear é uma expressão da forma: #{{a}_{1}}{{x}_{1}}+\cdot \cdot \cdot +{{a}_{n}}{{x}_{n}}=b#.
 
Quando juntamos duas ou mais equações na busca dos valores para as incógnitas, tem-se um sistema de equações. Neste capítulo revisaremos os métodos para resolução desses sistemas.
 

Sistema de Equações com Duas Variáveis

Observe um exemplo de sistema de equações
e note que temos duas equações e duas incógnitas. Trataremos de dois métodos para encontrar os valores de x e y:
 

Método da adição

Multiplica-se a 2 a equação por 3, assim, tem-se:

Realizando a soma das duas equações:


Método da substituição

A variável x é isolada na segunda equação e substituída na segunda, mas poderia ter sido escolhida outra variável na primeira equação para ser isolada e substituída na segunda. Reflita sobre o porquê de nossa escolha.
 
 
 
 
Substituindo,
 
Determinando o valor da incógnita x,
 
Outro exemplo.
 
Resolver o sistema
 
Para isso, use o método da adição.
 
Multiplica-se a primeira equação por -2, assim, tem-se:
Ou seja, obtemos uma sentença falsa, o que caracteriza que o sistema não possui solução.
 

Sistema de Equações com Três Variáveis

Diferentemente dos sistemas anteriores, aqui temos as variáveis x, y e z, e sua resolução incide no método do escalonamento. Esse método consiste na procura por sistemas equivalentes ao primeiro, ou seja, aquele que possui mesma solução. Para isso, usam-se as “operações”.
 
  • Multiplicar os itens da equação por um número real k;
  • Substituir uma equação pela soma dela com outra (usaremos o símbolo = );
  • Permutar as equações no sistema (usaremos o símbolo #\leftrightarrow #).
 
Exemplo:

Resolva o sistema.
 
Inicialmente, o sistema possui três equações, as quais serão divididas em linhas e chamadas de #{{L}_{1}},\text{ }{{L}_{2}}# e #{{L}_{3}}#. Por exemplo, o #{{L}_{3}}#para o sistema dado corresponde a #3x-y-2z=-4#;

Façamos as “operações” para obtenção de sistemas que possuem a mesma solução,

Efetuando as contas:
Substituindo, temos:
 

Efetuando as contas:

Substituindo, temos:
A partir daí, podemos determinar os valores das incógnitas:
Encontramos, no exemplo acima, os valores de x, y e z. Sistemas como esses são classificados como possíveis determinados. Quando, ao resolver um sistema, temos uma variável livre, denominamo-lo de possível indeterminado, e, quando se chega a uma sentença falsa, o sistema é impossível.
 

Em Resumo 

Estudamos alguns métodos para resolução de sistemas de duas ou três equações neste capítulo. Faça os exercícios para melhor fixação.
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