Texto: O Conjunto dos Números Inteiros

O Conjunto dos Números Inteiros

Os conhecimentos matemáticos são o resultado da vivência, da resolução de problemas do cotidiano e da observação dos fenômenos que ocorrem na natureza. Foram os problemas do dia a dia que levaram ao avanço do conjuntos dos números inteiros, pois os números naturais deixaram de ser suficientes para representar todas as situações do cotidiano, surgindo, então, a necessidade de atribuir significado às expressões numéricas do tipo 3 – 9.
 
 

A partir do momento em que descobriram a solução para essas expressões numéricas, inicia-se o desenvolvimento de um novo conjunto numérico denominado conjunto dos números inteiros, que é composto pelos números naturais mais o números negativos, ou seja, todos os números pertencentes ao conjunto dos números naturais pertencem ao conjunto dos números inteiros. Porém, nem todos os números pertencentes ao conjunto dos números inteiros pertencentes aos conjunto dos números naturais.

O conjunto dos números inteiros está presente no nosso dia a dia na representação de algumas medidas ou contagens. Hoje, os números inteiros costumam aparecer nas transações bancárias, nas medidas das temperaturas, na indicação das altitudes e de datas, entre outros. 

Para ampliar os estudos dos números inteiros neste tópico, além das aplicações no cotidiano, vamos aprender também a representar esses números na reta numérica, o seu módulo e o seu oposto.


Números Positivos e Números Negativos

Os números positivos e negativos são muito utilizados no nosso dia a dia. Veja os exemplos:


Saldos Bancários

Muitas pessoas têm cheque especial. Quando elas retiram do banco mais dinheiro do que possuem, utilizando esse tipo de cheque, elas ficarão com saldo negativo. Se você tem R$ 450,00 e retira R$ 500,00, acaba ficando com saldo negativo ( - R$ 50,00). 

A frase “tem 450, retira 500, fica com -50” pode ser resumida por símbolos matemáticos: 450 - 500 = -50.


Temperaturas

Quando analisamos a previsão do tempo, podemos encontrar, em um único dia e em vários locais do mundo, diferentes temperaturas. No dia 28 de Janeiro de 2013, em Zurique, na Suíça, a temperatura mínima era de -3 °C, já em Belo Horizonte, Minas Gerais, a temperatura era de 16 °C.

Você percebeu que, para indicar a temperatura acima de 0 °C, usamos números positivos e que, para indicar as temperaturas abaixo de 0 ° C, usamos os números negativos?  Note que para representar o número negativo usamos o sinal negativo (-).


Altitudes

Os números inteiros são utilizados para indicar a altitude em relação ao nível do mar. Quando dizemos que um mergulhador, usando equipamento apropriado, desce 300m de profundidade, fazemos referência a uma altitude negativa, ou seja, a altitude está abaixo do nível do mar e poderá ser expressa por – 300m. 
 

Já o Pico da Neblina é a maior montanha do Brasil, com aproximadamente 2993 metros de altura; fazemos referência à uma altitude positiva, ou seja, temos uma altitude acima do nível do mar, que pode ser expressa por 2993m ou + 2993m. 


Datas

Em quase todo o mundo, o tempo é contato a partir do nascimento de Jesus Cristo. O ano em que Cristo nasceu é considerado o ano 1. Acontecimentos ocorridos antes do nascimento de Cristo são indicados pela abreviatura a.C. e também podem ser indicados por números negativos. Por exemplo: o matemático Tales nasceu em 625 a.C e faleceu em 546 a.C. Essas datas podem ser representadas por – 625 e – 546. 
 

Atenção!

Para indicar o número positivo, nem sempre colocamos o sinal (+), pois na representação desses valores o uso do sinal + junto ao número é optativo.

Para usarmos o número positivo ou o número negativo na representação de algumas situações do cotidiano, precisamos ter um referencial, como, por exemplo, o nível do mar, o nascimento de Cristo, retirar o dinheiro do cheque especial, entre outros.
 

Saiba Mais!

Em 1884 foram criados os fusos horários, que são faixas imaginárias longitudinais (de um polo a outro da Terra), dividindo o mundo em 24 regiões.
 
Greenwich é o fuso referencial para a determinação das horas, no qual o centro é 0°. A hora determinada pelo fuso de Greenwich recebe o nome de GMT. 

Os fusos à leste de Grenwich têm as horas adiantadas, ou seja, são contados positivamente para leste; já os fusos situados a oeste do meridiano inicial têm as horas atrasadas, ou seja, são contados negativamente para oeste.

Todos os locais situados em um mesmo fuso têm também a mesma hora. Alguns países apresentam mais de um fuso horário, como, por exemplo, o Brasil, que, tinha quatro fusos até 2008, ano em que o país passou a ter três fusos horários devido à criação da Lei 11.662.

Observando o mapa abaixo, percebemos que o primeiro dos três fusos brasileiros tem duas horas a menos que a hora de Greenwich, o segundo, três horas e o terceiro, quatro horas a menos que a hora de Greenwich.
 
 

Leitura

Números Negativos - Coleção Pra que Serve a Matemática?
De uma hora para outra, os alunos têm de “acreditar” que existem infinitos números menores que o zero. E que dá, sim, para tirar cinco de três. Neste volume, alguns exemplos extraídos da Economia, das Ciências e da Estatística são apresentados para facilitar a compreensão dessas noções: saldo bancário negativo; temperaturas negativas no inverno; ponto negativo do aluno que não fez a tarefa; inflação negativa ou deflação; crescimento negativo da população; lucro negativo da empresa. Os alunos vão descobrir alguns truques com a calculadora, aprender o que é fuso horário e enfrentar os desafios propostos. Vão ainda se divertir com um jogo de tabuleiro, encartado no livro, para ninguém ter dúvidas do que é número negativo: quem ficar com zero vence quem ficar com negativo, mas perde de quem ficar com positivo.

Fonte: IMENES, L.M.P; JAKUBOVIC, J.; LLLIS, M.C. Números negativos. São Paulo: Atual, 2009.
 

Representação na Reta Numérica 

Podemos representar os números positivos e os números negativos em uma reta numérica.

 Para construir a reta numérica dos números inteiros, precisamos:
 
  • Traçar uma reta e indicar nela um ponto O chamado de origem e que corresponde ao zero.
 
  • Determinar uma unidade de comprimento (u) que poderá ser de qualquer tamanho. Em seguida, destacar essa unidade à direita e à esquerda da origem, mantendo sempre a mesma distância entre os pontos que representam dois números inteiros  consecutivos. 
  • Estabelecer o sentido positivo e o sentido negativo na reta. 
 
  • Marcar os números positivos e os números negativos na reta.
 
Nessa reta estão representados os números inteiros, que são formados por números negativos, números positivos e pelo zero.
 

Atenção!

Os números positivos podem ser representados usando ou não o sinal de +: 

+ 5 = 5.
 
Agora que aprendemos a construir a reta numérica dos números inteiros, vamos analisar os pontos destacados na reta numérica a seguir:
 

Os pontos P, M, O, R e S representam, respectivamente, a imagem geométrica dos números inteiros - 4, -1, 0, 2 e 6.

Já os números - 4, -1, 0, 2 e 6 são chamados, respectivamente, de abscissa dos pontos P, M, O, R e S.


Módulos e Opostos ou Simétricos de Números Inteiros 


Módulo

Leia as seguintes situações:
 
  • Um montanhista encontra-se a 600 m de altitude do nível do mar.
  • Uma cidade localiza-se a 100 m acima do nível do mar.
  • Um mergulhador está a 100 m de profundidade do nível do mar.
Construindo uma reta numérica que represente as três situações propostas simultaneamente, consideramos o nível do mar como sendo a origem O, ou seja, o ponto O representa a imagem geométrica do zero.
 

Analisando a reta numérica, podemos afirmar que a distância que o montanhista, a cidade e o mergulhador estão da origem O são de: 600 m, 100 m e 100 m.

Nas três situações, podemos verificar que a distância de cada ponto em relação ao nível do mar (ponto de origem O) é sempre um número natural: o número 600 e o número 100.

Essa distância é denominada módulo ou valor absoluto de um número inteiro. O módulo é representado por |   |.

Veja alguns exemplos:
 
  • |0| = 0 (lê-se: módulo de zero é igual a zero)
  • |12| = 12 (lê-se: módulo de doze é igual a doze)
  • |600| = 600 (lê-se: módulo de seiscentos é igual a seiscentos)
  • |-23| = 23 (lê-se: módulo de menos vinte e três é igual vinte e três)
  • |-100| = 100 (lê-se: módulo de menos cem é igual a cem)
 

Atenção!

Como o módulo é  a distância que o número está do zero, então o módulo de todo número inteiro, diferente de zero, sempre será um número positivo.
 

Números Inteiros Opostos ou Simétricos

Ainda observando a reta numérica traçada para representar a distância que o montanhista, a cidade e o mergulhador estão do nível do mar, podemos notar que o mergulhador e a cidade estão a uma mesma distância da origem (eles possuem o mesmo módulo), porém estão situados em lados opostos na reta numérica, em relação à origem. Nesse caso, dizemos que os números + 100 e -100 são números opostos ou simétricos.

Exemplos:
 
  • + 100 e -100 são opostos ou simétricos.
+ 100 é o oposto ou simétricos de -100 e vice-versa.
 
  • -12 e 12 são opostos ou simétricos.
-12 é o oposto ou simétrico de 12 e vice-versa.
 

Atenção!

Números inteiros opostos ou simétricos têm sinais contrários e localizam-se a uma mesma distância do zero.


Comparação de Números Inteiros

Num campeonato de futebol, o saldo de gols é calculado fazendo a diferença entre o número de gols marcados pelo número de gols sofridos. Se o número de gols sofridos for maior que o número de gols marcados, então o saldo de gol será representado por um número negativo.
 

A tabela abaixo mostra o saldo de gols de quatro times de futebol da 1º divisão de um campeonato realizados numa cidade do interior de Minas Gerais. 

Considerando que nesse campeonato os times são classificados conforme o seu saldo de gol, podemos concluir que: 

 
  • o time Branco está mais bem classificado que o time Vermelho, pois 15 > 6.
  • o time Vermelho está mais bem classificado que o time Azul, pois 6 > -3.
  • o time Azul está mais bem classificado que o time Verde, pois -3 > -7, ou seja, o time verde sofreu 3 gols a mais que o time Azul. 

Colocando os times em ordem, do maior saldo de gols para o menor saldo de gols, teremos a seguinte tabela: 

 
Quando comparamos dois números, temos:
 
  • Entre números inteiros positivos, maior é aquele que está mais distante do zero;
  • Entre um número inteiro positivo e um negativo, o maior sempre é o número positivo; e
  • Entre os números inteiros negativos, o maior é aquele que está mais próximo do zero.
  • Entre um número inteiro positivo e o número zero, o maior sempre é o número inteiro positivo.
  • Entre um número inteiro negativo e o número zero, o maior sempre será o número zero.
 

Em Resumo

Neste tópico estudamos um pouco sobre o conjunto dos números inteiros e suas aplicações. Vimos que, para representar os números inteiros na reta numérica, primeiro devemos traçar a reta; em seguida, indicar um ponto que será a origem; depois, estabelecer o sentido positivo e o sentido negativo; e, por último, marcar os números positivos e os números negativos. 

Também aprendemos que o módulo de um número inteiro sempre é um número inteiro positivo e que o oposto ou simétrico de um número inteiro é outro número inteiro, que se localiza a uma mesma distância do zero, porém em lado contrário. Por último, estudamos que os números positivos são maiores que zero e maiores que todos os números negativos e que o número negativo, quanto mais distante estiver do zero, menor será. Enfim, se o sentido positivo da reta estiver sempre à direita do zero, o maior número será aquele que se localiza à direita na reta numérica.
 
 
 
 
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