Texto: Raízes e Equações em C

Raízes e Equações em C  

No capítulo anterior, abordou-se a forma trigonométrica de um número complexo. Tal forma é bastante útil quando se necessita multiplicar ou calcular a potência n de um complexo, no entanto, sua maior utilidade é calcular mais facilmente a raiz enésima de um número z.
 
Calcular essas raízes e também resolver equações considerando o conjunto #C# serão os dois assuntos deste capítulo.
 

Radiciação de Complexos

Você já deve estar habituado a extrair raízes de números reais, como, por exemplo:
 
  • #\sqrt{16}=\pm 4#, pois #\pm {{4}^{2}}=16#.
  • #\sqrt[3]{-8}=-2#, pois #{{(-2)}^{3}}=-8# .
 
E também já deve ter tentado resolver algumas equações e se esbarrou com situações assim:
 
  • #\sqrt{-81}\notin R#, pois não existe um número real tal que, elevado ao quadrado, resulte em -81.
  • #\sqrt[4]{-16}\notin R#, pois não existe um número real tal que, elevado à quarta potência, resulte em -16.
 
Essas situações ocorriam sempre quando o índice da radiciação era par e o radicando negativo, pois, nos números reais, não existe o i.
 
Agora que já conhecemos o i, podemos calcular essas raízes sempre que elas ocorrerem.

 

Radiciação na Forma Algébrica

 
Exemplos:
 
  • Calcular a raiz #\sqrt{-81}# em #C#.
 
Para determinarmos esse resultado, basta decompormos o radicando:
 
#\sqrt{-81}=\sqrt{81.(-1)}=\sqrt{81}.\sqrt{-1}=\pm \text{ }9.i#, ou seja, #\sqrt{-81}\in C#, cuja solução é #S=\left\{ -9i,+9i \right\}#, pois #{{\left( \pm \text{ }9.i \right)}^{2}}=-81#.
 
  • Calcular a raiz #\sqrt[4]{-16}# em #C#.
 
Temos que calcular x tal que:
 
#{{x}^{4}}=-16# 
     
Se utilizarmos da mesma estratégia do exemplo anterior, encontraremos:
 
#\sqrt[4]{-16}=\sqrt[4]{16.(-1)}=\sqrt[4]{16}.\sqrt[4]{-1}=\pm 2.?#
 
Perceba que, para estabelecermos a #\sqrt[4]{-1}#, temos que calcular quais complexos que, elevados à quarta potência, resultam em (-1), pois só sabemos que #\sqrt{-1}=i# e não temos informação sobre #\sqrt[4]{-1}#.
 
Mesmo utilizando da propriedade dos radicais, chegaríamos em uma expressão sem muita serventia: #\sqrt[4]{-1}=\sqrt{\sqrt{-1}}=\sqrt{i}# ou #\sqrt{-i}#.
 
Para solucionarmos casos como esse, utilizamos a forma trigonométrica de um complexo.
 
 
 

Radiciação na Forma Trigonométrica

Se #{{z}_{1}}=\sqrt[n]{z}#, então #{{z}_{1}}^{n}=z# e vice-versa para #n\ge 2# , ou seja, #{{z}_{1}}# é a raiz enésima de z.
 
Do capítulo anterior, sabemos que a forma trigonométrica de #{{z}_{1}}# será:
 
#{{z}_{1}}={{\rho }_{1}}\left[ \cos \left( {{\theta }_{1}} \right)+i.\text{sen}\left( {{\theta }_{1}} \right) \right]#
 
E também que #{{z}_{1}}^{n}={{\rho }_{1}}^{n}\left[ \cos \left( n.{{\theta }_{1}} \right)+i.\text{sen}\left( n.{{\theta }_{1}} \right) \right]#
 
Então:
 
#\begin{matrix}
  {{z}_{1}}^{n}=z \\ 
  {{\rho }_{1}}^{n}\left[ \cos \left( n.{{\theta }_{1}} \right)+i.\text{sen}\left( n.{{\theta }_{1}} \right) \right]=\rho \left[ \cos \left( \theta  \right)+i.\text{sen}\left( \theta  \right) \right] \\ 
\end{matrix}#
 
A igualdade acima só será verdadeira se os módulos e argumentos forem iguais, ou seja:
 
#\left\{ \begin{align}
  & \rho ={{\rho }_{1}}^{n}\to {{\rho }_{1}}=\sqrt[n]{\rho } \\ 
 & n{{\theta }_{1}}=\theta +2k\pi \to {{\theta }_{1}}=\frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n}\text{ com k}\in \text{Z} \\ 
\end{align} \right.\text{ }#
 
Observe que:
 
 #k=0\to {{\theta }_{1}}=\frac{\theta }{n}+\frac{2.0.\pi }{n}=\frac{\theta }{n}# e que #k=n\to {{\theta }_{1}}=\frac{\theta }{n}+\frac{2.n.\pi }{n}=\frac{\theta }{n}+2\pi =\frac{\theta }{n}#.
 
Ou seja, ambos resultam em ângulos congruentes, portanto, considerando k variando de zero a n – 1, tem-se um total de n raízes distintas para z. 
 
Concluindo:
 
Um complexo não nulo z tem n raízes distintas, todas com o mesmo módulo #\sqrt[n]{\rho }#e argumentos da forma #{{\theta }_{1}}=\frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n}#. Essas raízes podem ser calculadas por meio da fórmula:
 
#\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\rho }\left[ \cos \left( \frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n} \right)+i.\text{sen}\left( \frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n} \right) \right]#,
 
com #k\in \left\{ 0,1,2,...,n-1 \right\}#
 

Você Sabia?

Se você representar geometricamente todas as n raízes de z no plano de Argand-Gauss, você obterá os vértices de um polígono de n lados inscrito em uma circunferência de raio igual ao módulo de z.
 
Exemplo:
 
As raízes de índice 5 de 1 formam um pentágono regular inscrito (“dentro”) de uma circunferência de raio igual a 1.
 

Exemplo:
 
Vamos calcular agora a #\sqrt[4]{-16}#. Para a aplicação da fórmula, temos que escrever o z na forma trigonométrica:
 
#z=-16\to z=-16+0i#
 
Precisaremos do módulo e do argumento:
 
#\left| z \right|=\rho =\sqrt{{{16}^{2}}+{{0}^{2}}}=16# 

#\left\{ \begin{align}
& \cos \theta =\frac{16}{16}=1 \\ 
& sen\theta =\frac{0}{16}=0 \\ 
\end{align} \right.\to \theta =0{}^\text{o}#
 
A forma trigonométrica será:
 
#z=16\left[ \cos \left( 0 \right)+i.\text{sen}\left( 0 \right) \right]#
 
A partir da forma trigonométrica, podemos calcular as raízes aplicando:
 
#\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{16}\left[ \cos \left( \frac{0}{4}+\frac{2k\pi }{4} \right)+i.\text{sen}\left( \frac{0}{4}+\frac{2k\pi }{4} \right) \right]#
 
E variando #k\in \left\{ 0,1,2,3 \right\}#, serão, ao todo, quatro raízes:
 
  • #k=0\to \sqrt[4]{16}\left[ \cos \left( \frac{0}{4}+\frac{2.0..\pi }{4} \right)+i.\text{sen}\left( \frac{0}{4}+\frac{2.0.\pi }{4} \right) \right]=2.1+2.0.i=2#
 
  • #k=1\to \sqrt[4]{16}\left[ \cos \left( \frac{0}{4}+\frac{2.1..\pi }{4} \right)+i.\text{sen}\left( \frac{0}{4}+\frac{2.1..\pi }{4} \right) \right]=2.0+2.i=2i#
 
  • #k=2\to \sqrt[4]{16}\left[ \cos \left( \frac{0}{4}+\frac{2.2..\pi }{4} \right)+i.\text{sen}\left( \frac{0}{4}+\frac{2.2..\pi }{4} \right) \right]=2.(-1)+2.i.0=-2#
 
  • #k=3\to \sqrt[4]{16}\left[ \cos \left( \frac{0}{4}+\frac{2.3..\pi }{4} \right)+i.\text{sen}\left( \frac{0}{4}+\frac{2.3..\pi }{4} \right) \right]=2.0+2.i.(-1)=-2i#
 
As raízes serão: #\left\{ -2,-2i,2,2i \right\}#. Verifique!
 
 

Equações em #C#

Sabendo extrair as raízes de um número complexo, é possível conseguir resolver equações em #C#. Acompanhe o exemplo.
 
Resolva:

#3{{x}^{4}}-3=0#
 
Resolveremos de forma análoga à que fazíamos nos números reais até o momento de se extrair as raízes. Portanto:
 
#3{{x}^{4}}-3=0\to 3{{x}^{4}}=3\to {{x}^{4}}=1\to x=\sqrt[4]{1}#
 
 
#\left| z \right|=\rho =\sqrt{{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}=1#

#\left\{ \begin{align}
& \cos \theta =\frac{1}{1}=1 \\ 
& sen\theta =\frac{0}{1}=0 \\ 
\end{align} \right.\to \theta =0{}^\text{o}#

A forma trigonométrica será:
 
#z=1\left[ \cos \left( 0 \right)+i.\text{sen}\left( 0 \right) \right]=\cos \left( 0 \right)+i.\text{sen}\left( 0 \right)#
 
A partir da forma trigonométrica, podemos calcular as raízes aplicando:
 
#\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{1}\left[ \cos \left( \frac{0}{4}+\frac{2k\pi }{4} \right)+i.\text{sen}\left( \frac{0}{4}+\frac{2k\pi }{4} \right) \right]=\left[ \cos \left( \frac{0}{4}+\frac{2k\pi }{4} \right)+i.\text{sen}\left( \frac{0}{4}+\frac{2k\pi }{4} \right) \right]#
 
E variando , serão, ao todo, quatro raízes:
 
  • #k=0\to \left[ \cos \left( \frac{0}{4}+\frac{2.0..\pi }{4} \right)+i.\text{sen}\left( \frac{0}{4}+\frac{2.0.\pi }{4} \right) \right]=1#
 
  • #k=1\to \left[ \cos \left( \frac{0}{4}+\frac{2.1..\pi }{4} \right)+i.\text{sen}\left( \frac{0}{4}+\frac{2.1..\pi }{4} \right) \right]=i#
 
  • #k=2\to \left[ \cos \left( \frac{0}{4}+\frac{2.2..\pi }{4} \right)+i.\text{sen}\left( \frac{0}{4}+\frac{2.2..\pi }{4} \right) \right]=-1#
 
  • #k=3\to \left[ \cos \left( \frac{0}{4}+\frac{2.3..\pi }{4} \right)+i.\text{sen}\left( \frac{0}{4}+\frac{2.3..\pi }{4} \right) \right]=-i#
 
O conjunto solução será: #S=\left\{ -1,-i,1,i \right\}#
 

Em Resumo

  • A maior utilidade da forma trigonométrica é calcular facilmente, por meio de uma fórmula, a raiz enésima de um número z.
  • Raízes de índice 2 podem ser obtidas por meio da aplicação de propriedades da radiciação: #\sqrt{-81}=\sqrt{81.(-1)}=\sqrt{81}.\sqrt{-1}=\pm \text{ }9.i#
  • Qualquer número complexo não nulo pode ter sua enésima raiz calculada pela fórmula:
 
#\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\rho }\left[ \cos \left( \frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n} \right)+i.\text{sen}\left( \frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n} \right) \right]#,
com #k\in \left\{ 0,1,2,...,n-1 \right\}#
 
  • Sabendo extrair as raízes de um número complexo, é possível conseguir resolver equações em #C#.
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