Texto: Coeficiente Angular e Posição Relativas a Duas Retas

Coeficiente Angular e Posição Relativas a Duas Retas

No aprendizado de qualquer disciplina, após nos habituarmos com os conceito novos apresentados, o próximo passo é relacionar os conteúdos novos com os que já sabíamos, a fim de efetuarmos comparações e novas conclusões.
 
Neste capítulo, relacionaremos o conceito das posições relativas de retas em um plano, já conhecido na Geometria plana, com suas equações analíticas.
 

Equação Reduzida da Reta

Considere a equação geral da reta  r: #ax+by+c=0#, não paralela ao eixo y, ou seja, #b\ne 0#.
 
Isolando a variável y na equação: 
 
 
 
Fazendo #m=-\frac{a}{b}# e #q=-\frac{c}{b}# , obtemos #y=mx-q#  → a equação reduzida.
 
Essa equação fornece-nos informações relevantes sobre duas características muito importantes da representação de r no sistema cartesiano.
 
 
  • #m=-\frac{a}{b}#, chamado de coeficiente angular de r, fornece-nos a inclinação da reta em relação ao eixo x.
 
  • #q=-\frac{c}{b}# é a ordenada do ponto onde a reta intercepta o eixo y
 
 


 

 

 

 

 

 

Exemplo: 

A equação geral da reta r é  . Qual é sua equação na forma reduzida? Identifique qual o ponto em que essa reta intercepta o eixo y.
Isolando  :
 
A equação geral da reta r é #4x-2y+8=0#. Qual é sua equação na forma reduzida? Identifique qual o ponto em que essa reta intercepta o eixo y.
 
Isolando y:
 
 
A equação reduzida é #r:y=2x+4#, e ela intercepta o eixo y no ponto #P(0,4)#.
 

Coeficiente Angular

O coeficiente angular de uma reta depende de sua inclinação.
 
 

Inclinação da Reta e Coeficiente Angular

Denominamos a inclinação da reta r como ângulo #\theta #, formado por r e o eixo x, no sentido anti-horário. 
 
O coeficiente angular de r será #m=tg\theta #.
    
Vamos ver os quatro possíveis casos gerais:
 
  • #0{}^\text{o}<\theta <90{}^\text{o}\to tg\theta >0\to m>0#.
 
  • #90{}^\text{o}<\theta <180{}^\text{o}\to tg\theta <0\to m<0#.
     
  • Se a reta for paralela ao eixo x, teremos #\theta =0{}^\text{o}\to tg\theta =0\to m=0#.
 
 
  • Se a reta for perpendicular ao eixo x, teremos #\theta =90{}^\text{o}\to tg\theta # não existe.
 


Determinação do Coeficiente Angular de uma Reta.

Há basicamente 3 meios de se determinar o coeficiente angular de uma reta.
 

Conhecida sua Inclinação

Basta encontrar a tangente do ângulo formado com o eixo x.
 

Exemplo:
 

#\theta =30{}^\text{o}\to tg30{}^\text{o}=\frac{\sqrt{3}}{3}#
 
 

Conhecida sua Equação Reduzida

Na forma reduzida, #y=mx-q#, o coeficiente será igual a m.
 
Exemplo:
 
#r:y=2x-1\to m=2#
 
 


Conhecidos Dois de seus Pontos

O coeficiente angular de uma reta, conhecidos os pontos #A({{x}_{A,}}{{y}_{A}})# e #B({{x}_{B,}}{{y}_{B}})#, pode ser calculado como:
 

Exemplo:
 
Determine o coeficiente angular e a inclinação da reta que passa por #A(1,2)# e #B(2,1)#.
 

 
O coeficiente angular é igual a -1 e o ângulo é #tg\theta =-1\to \theta =135{}^\text{o}#.
 

Posição Relativa de Duas Retas

A posição de duas retas depende do coeficiente angular de ambas. Há apenas dois casos principais: retas paralelas e retas concorrentes.
 
 

Paralelas

Duas retas r e s, de coeficientes angulares iguais a #{{m}_{r}}# e #{{m}_{s}}#, serão paralelas se #{{m}_{r}}={{m}_{s}}#.

Resumidamente, 
 
#r//s\to {{m}_{r}}={{m}_{s}}#.

Exemplo:
 
 
são paralelas, pois #{{m}_{r}}={{m}_{s}}=1#.
 
 
Faça a representação em seu caderno.
 
 

Concorrentes

Duas retas r e s, de coeficientes angulares iguais a #{{m}_{r}}# e #{{m}_{s}}#, serão concorrentes se #{{m}_{r}}\ne {{m}_{s}}#.

Resumidamente, 
 
#r\text{ e }s\text{ concorrentes}\to {{m}_{r}}\ne {{m}_{s}}#.

Exemplo: 
 
 
são concorrentes, pois #{{m}_{r}}\ne {{m}_{s}}#
 
Faça a representação em seu caderno.
 
 

Retas Perpendiculares

São retas concorrentes especiais, cujo ângulo formado entre as duas é reto.
 
Duas retas r e s, de coeficientes angulares iguais a #{{m}_{r}}# e #{{m}_{s}}#, serão perpendiculares se #{{m}_{r}}.{{m}_{s}}=-1#.
 
Simbolicamente:
 
#r\text{ }\bot \text{ }s\text{ }\to {{m}_{r}}.{{m}_{s}}=1#.

Exemplo:
 
 
são concorrentes e perpendiculares, pois #{{m}_{r}}{{m}_{s}}=1.(-1)=-1#
 
Faça a representação em seu caderno.
 
 

Ângulo entre Duas Retas

Retas Não Verticais e Não Perpendiculares

 
Sejam r e s duas retas não verticais e não perpendiculares entre si, a tangente do ângulo agudo entre r e s será dada por:
 
 
Exemplo: 
 
Calcule o ângulo obtuso formado por r e s.
 
 
Como #{{m}_{r}}=-2\text{ e }{{m}_{s}}=3#, as retas são concorrentes e não perpendiculares. Nesse caso, a tangente do ângulo agudo será dada por:
 
 
O ângulo obtuso será igual a #180{}^\text{o}-45{}^\text{o}=135{}^\text{o}#.

 

Uma das Retas é Vertical

Suponha que s uma reta vertical. Nesse caso, a tangente do ângulo agudo formado entre ela e uma reta r não vertical será:
 

 


Em Resumo

O coeficiente angular é muito importante para se determinar a posição relativa de duas retas no plano e os ângulos formados pelas duas, se existir.
 
Posição relativa:
 
  • #{{m}_{r}}={{m}_{s}}\to \text{retas paralelas.}#
 
  • #{{m}_{r}}\ne {{m}_{s}}\to \text{retas concorrentes.}#
    • Caso especial: se #{{m}_{r}}.{{m}_{s}}=1,\text{ }r\text{ }\bot \text{ }s\text{ }#.
 
Ângulo:
 
se r e s forem retas não verticais e não perpendiculares entre si.
 
ou se r ou s for vertical e as retas não forem perpendiculares entre si.
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