Texto: Inequações Logarítmicas

Inequações Logarítmicas

Chamamos de logarítmica toda inequação que tem pelo menos um termo que é logaritmo.

 

Para trabalhar com inequações logarítmicas, devemos nos lembrar das regras básicas que regem todas as funções logarítmicas. Chamando a base do logaritmo de b, as regras são: 

 

  • Quando #0<b<1#, a função é decrescente.
 
  • Quando #b>1#, a função é crescente.

 

Em decorrência disso, todas as vezes que a base da inequação logarítmica for maior que 1, o sentido da desigualdade se conserva, e todas as vezes que o valor da base for um valor entre 0 e 1, o sentido da desigualdade se inverte.

 

Para entender melhor como isso ocorre, veja os exemplos a seguir.

 

 

Exemplo 1

Determine a solução da inequação #{{\log }_{5}}\left( 2x-3 \right)>{{\log }_{5}}\left( 7 \right)#.

 

Resolução:

Analisando a condição de existência da inequação logarítmica:

 

#2x-3>0\Rightarrow 2x>3\Rightarrow x>\frac{3}{2}\Rightarrow x>1,5#

 

Na base, os dois lados da inequação são iguais a 5. Comparando os logaritmandos: 

 

#2x-3>7\Rightarrow 2x>7+3\Rightarrow x>\frac{10}{2}\Rightarrow x>5#

 

Logo, o sentido da desigualdade se conserva.

 

Fazendo uma análise na reta real:

 

 

Solução: #S=\left\{ x\in IR/x>5 \right\}#.

 

 

Exemplo 2

#{{\log }_{0.6}}\left( 3x-7 \right)\ge {{\log }_{0.6}}\left( 23 \right)#.

 

Resolução:

Analisando a condição de existência da inequação logarítmica:

 

#3x-7>0\Rightarrow 3x>7\Rightarrow x>\frac{7}{3}\Rightarrow x>2,3333...#

 

Na base, os dois lados da inequação são iguais a 0,6. Logo, o sentido da desigualdade se inverte. Comparando os logaritmandos:

 

#3x-7\le 23\Rightarrow 3x\le 23+7\Rightarrow x\le \frac{30}{3}\Rightarrow x\le 10#

 

Fazendo uma análise na reta real:

 

 

Solução: #S=\left\{ x\in IR/\frac{7}{3}<x\le 10 \right\}#.

 

Exemplo 3

Determine a solução da inequação #{{\log }_{3}}\left( 2x+9 \right)>3#.

 

Resolução:

Analisando a condição de existência da inequação logarítmica:

#2x+9>0\Rightarrow 2x>-9\Rightarrow x>-\frac{9}{2}\Rightarrow x>-4,5#

 

Aqui temos uma base igual a 3. Logo, o sentido da desigualdade se conserva.

#{{\log }_{3}}\left( 2x+9 \right)>3#

#2x+9>{{3}^{3}}\Rightarrow 2x>27-9\Rightarrow 2x>18\Rightarrow x>9#

 

Solução: #S=\left\{ x\in IR/x>9 \right\}#.

 

 

Em Resumo

Ao trabalhar com inequações logarítmicas, devemos estar atentos ao valor da base. Quando ele for maior que 1, o sentido da desigualdade se conserva, e quando for um valor entre 0 e 1, o sentido da desigualdade se inverte.

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