Texto: Polígonos Regulares

Polígonos Regulares

Ao longo de todos os capítulos anteriores trabalhamos com polígonos: triângulos, quadriláteros, hexágonos etc.
 
Neste capítulo, será definido o conceito de polígono regular e suas características principais. 
 

Polígonos Regulares

Polígono é todo contorno fechado no plano cujas fronteiras são segmentos de retas. Todos os tipos de triângulos, quadrados ou trapézios são exemplos de polígonos.
 
Polígonos regulares são polígonos convexos especiais que possuem congruentes: seus lados e seus ângulos internos.
 
Exemplos:
 
  • Triângulo regular (triângulo equilátero)
 
  • Quadrilátero regular (quadrado)
 
  • Hexágono regular
 
 

Elementos Comuns a Todos os Polígonos Regulares    

Todo polígono regular pode ser inscrito (desenhado na parte interna) em uma circunferência de centro O, cuja distância de O até um dos vértices é igual ao raio. Pode-se dizer também que a circunferência está circunscrita (desenhada externamente) ao polígono.
 
Exemplo:
 
Triângulo regular circunscrito
 
 
Definiremos, agora, cinco elementos presentes em todo polígono regular:
 
  • #L#: medida do lado do polígono;
  • #a#: medida da apótema (segmento cujos extremos são o centro da circunferência circunscrita ao polígono regular e o ponto médio de um de seus lados);
  • #r#: raio da circunferência;
  • #A#: área do polígono; e
  • #p#: semiperímetro do polígono (metade do valor do perímetro).
 
A cada polígono regular distinto, as relações entre esses elementos são alteradas. Veja os seguintes casos:
 
 
Triângulo Regular
 
 
 
A medida do segmento #\overline{BH}=\overline{BO}+\overline{OH}\to \overline{BH}=r+{{a}_{3}}# e #\overline{AH}=\frac{{{L}_{3}}}{2}#. Como o #\Delta ABH# é retângulo em H, por meio das relações métricas e trigonométricas dos triângulos envolvidos, podemos estabelecer:
 
#\begin{align}
  & {{L}_{3}}=r\sqrt{3} \\ 
 & {{a}_{3}}=\frac{r}{2} \\ 
 & A=pa \\ 
\end{align}#
 

Atenção!

É usual utilizar os índices 3, 4, 5, 6... para diferenciar as apótemas e lados dos polígonos regulares.
 
Dessa forma, #{{a}_{3}}# é a apótema do polígono regular de 3 lados e #{{L}_{3}}# é o seu lado, assim como #{{a}_{6}}# e #{{L}_{6}}# representam, respectivamente, a apótema e o lado do hexágono regular.
 
De maneira análoga ao caso do triângulo, pode-se estabelecer as relações para o quadrilátero regular e para o hexágono regular.
 
  • Quadrilátero Regular
 
#\begin{align}
  & {{L}_{4}}=r\sqrt{2} \\ 
 & {{a}_{4}}=\frac{{{L}_{4}}}{2} \\ 
 & A=2{{r}^{2}} \\ 
\end{align}#
 
  • Hexágono Regular:
#\begin{align}
  & {{L}_{6}}=r \\ 
 & {{a}_{6}}=\frac{{{L}_{6}}\sqrt{3}}{2} \\ 
 & A=\frac{3{{L}_{6}}^{2}\sqrt{3}}{2} \\ 
\end{align}#
 
Exemplo:
 
Um quadrado está inscrito em uma circunferência de raio igual a 4 cm. Calcule as medidas de: seu lado, sua apótema e sua área.
 
#\begin{align}
  & {{L}_{4}}=4\sqrt{2}cm \\ 
 & {{a}_{4}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}cm \\ 
 & A={{2.4}^{2}}=32c{{m}^{2}} \\ 
\end{align}#


Em Resumo

Polígonos regulares são polígonos convexos especiais que possuem congruentes:seus lados e seus ângulos internos.
 
Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência de centro O.
 
  • Triângulo regular:
#\begin{align}
  & {{L}_{3}}=r\sqrt{3} \\ 
 & {{a}_{3}}=\frac{r}{2} \\ 
 & A=pa \\ 
\end{align}#
 
  • Quadrilátero Regular:
#\begin{align}
  & {{L}_{4}}=r\sqrt{2} \\ 
 & {{a}_{4}}=\frac{{{L}_{4}}}{2} \\ 
 & A=2{{r}^{2}} \\ 
\end{align}#
 
  • Hexágono Regular:
#\begin{align}
  & {{L}_{6}}=r \\ 
 & {{a}_{6}}=\frac{{{L}_{6}}\sqrt{3}}{2} \\ 
 & A=\frac{3{{L}_{6}}^{2}\sqrt{3}}{2} \\ 
\end{align}#
 
 
    
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