Texto: Fatorial e Coeficientes Binomiais: Propriedades e Triângulo de Pascal

Fatorial e Coeficientes Binomiais: Propriedades e Triângulo de Pascal

 
 

Você já parou para pensar de quantas formas diferentes podemos organizar as letras de uma palavra? 

 

Por exemplo, vamos identificar e contar de quantas formas diferentes podemos reorganizar as letras do nome LUNA. 

 

 

Um total de 24 possibilidades diferentes de reorganizarmos as letras da palavra LUNA. 

 

Pode-se inferir que, quanto mais letras uma palavra tiver, maior será o número de possibilidades de reorganização das letras. Mas, será que, para saber o número de possibilidades de reorganizar as letras de uma palavra, temos sempre que escrever e contar uma a uma? Não existiria um método ou ferramenta matemática mais simples? 

 

É sobre essa ferramenta que o capítulo tratará! Uma notação matemática chamada de fatorial. Fatoriais são muito úteis para o cálculo de probabilidades estatísticas e também auxiliam muito no princípio fundamental da contagem. 

 

Fatorial 

Vamos considerar o exemplo da palavra LUNA. 

 

Reorganizando todas as letras, calculamos 24 possibilidades ao todo. 

 

Caso fôssemos deixar a primeira letra fixa, sobrariam 3 letras que poderiam ser reorganizadas. Suponha que deixássemos o letra L fixa e organizássemos apenas as letras UNA para facilitar os cálculos. 

 

UNA – UAN – AUN – ANU – NAU – NUA → teríamos ao todo 6 possibilidades, começando com a letra L. 

 

Da mesma forma, existirão 6 possibilidades começando com cada uma das outras 3 letras, ou seja, 4 x 6 = 24 possibilidades. Ficou mais fácil, mas ainda foi preciso reescrever as possibilidades com 3 letras. Há uma forma mais rápida! 

 

Podemos pensar assim: 

 

 

 se cada um desses retângulos representar um espaço para colocarmos uma das letras. No primeiro espaço, teremos 4 letras para preencher; no segundo, apenas 3, já que uma delas já foi utilizada; no terceiro, apenas 2; e, no quarto, 1. 

 

4 x 3 x  2 x 1 = 24

número total de possibilidades. 

 

E se fossem as 5 letras da palavra BRUNA? 

 

 

5 letras no primeiro, 4 no segundo, 3 no terceiro, 2 no quarto e 1 no quinto. 

5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 possibilidades. 

 

Essa estratégia constitui a base da notação matemática chamada de fatorial

 

Definição 

Dado um número n ∈  N, com n ≥ 2, chamamos de fatorial de n ou n fatorial o produto de todos os números naturais de n até 1

 

De forma geral: 

 

n! = n.(n −1).(n − 2).(n − 3)...1

Exceções: 1! = 1 e 0! = 1

 

Exemplos

4! = 4.3.2.1 = 24

6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

3! = 3.2.1 = 6

 

Retornando ao exemplo do item anterior, o número total das possibilidades de reorganização das letras de uma palavra (sem repetição) nada mais é do que o fatorial do número de letras. 

 

Coeficientes Binomiais 

Definição 

Dados dois números naturais n e p, com n p, chama-se coeficiente binomial de n sobre p, ou simplesmente número binomial, o número natural: 

 

 

n pode ser considerado o “numerador” do coeficiente binomial e p, o “denominador”. 

 

Exemplo 

 

 

Iremos ver aplicações que justifiquem a necessidade de se saber sobre números binomiais nos próximos capítulos. 

 

Números binomiais podem ser úteis para saber, por exemplo, quantos times de futsal diferentes podem ser montados em um grupo com 8 jogadores. 

 

n = 8 e p = 5. 

 times diferentes.

 

 

Propriedades dos Números Binomiais 

 

I - Coeficientes do tipo

são chamados de complementares e possuem valores iguais: 

 

Exemplos 

 

 

II- Relação de Stiefel 

 

Exemplos 

 

 

 

O Triângulo de Pascal 

O triângulo de Pascal é uma das construções numéricas mais famosas da matemática. Ele é muito conhecido pelo seu formato triangular e por possuir algumas propriedades interessantes entre seus elementos. 

 

Ele é composto apenas por números binomiais agrupados em linhas que seguem a numeração de acordo com o n

 

 

Calculando os números binomiais, temos:

 

 

Leitura!

Blaise Pascal 

Matemático, filósofo e cientista francês 

 

19/06/1623, Clermont-Ferrand, França 

29/08/1662, Paris, França 

 

“O coração tem razões que a própria razão desconhece”. O autor dessa conhecida frase foi Blaise Pascal, um matemático brilhante, filósofo e pesquisador. 

 

O pai de Pascal, Étienne, era um magistrado da “nobreza de toga” francesa em Clermont, isto é, pertencia à rica burguesia que conquistara postos públicos de destaque. Tinha vastos interesses culturais e era inclinado aos estudos científicos e matemáticos. 

 

Aos 19 anos, vivendo com a família em Rouen, inventou a máquina aritmética, uma calculadora mecânica que permitia a qualquer um somar, subtrair, dividir e multiplicar – sem saber aritmética. Levou dois anos para produzir a máquina, trabalhando com artesãos. Seu objetivo era ajudar o pai, que trabalhava como coletor de impostos na época. 

 

Foi nesse período que ele tomou conhecimento da experiência de Torricelli (1608-1647) com a pressão atmosférica e começou uma série de experimentos, que o levariam a provar a existência do vácuo. 

 

O filósofo Descartes, que visitou Pascal, não acreditou na descoberta do rapaz. Depois de debater com ele por dois dias, foi embora e escreveu uma carta para Huygens, dizendo que Pascal “tinha muito vácuo em sua cabeça”. 

 

Pascal também pesquisou problemas matemáticos relacionados aos jogos de dados. Esses estudos o levaram a formular o cálculo das probabilidades, Aleae Geometria (Geometria do acaso). Outro resultado dessas pesquisas com jogos foi o Triângulo de Pascal, uma tabela numérica. 

 

Pascal aplicou-se nos estudos de matemática e física escrevendo, em 1653, o “Tratado do Equilíbrio dos Líquidos”, no qual explicou a lei da pressão. Foi uma importante contribuição para a física. Ele também produziu importantes teoremas em geometria progressiva. Outra obra sua é o “Tratado sobre as Potências Numéricas”, em que trata da questão dos “infinitamente pequenos”. 

 

Continuando a estudar o tema, investigou como calcular a área de cicloide, a curva traçada por um ponto da circunferência que rola sem deslizar sobre uma reta. O método criado por ele para estabelecer essa área tornou possível descoberta do cálculo integral, anos mais tarde, por Leibniz, matemático alemão, e Isaac Newton, físico inglês. 

 

Fonte: UOL – Portal de Educação. Disponível em: <http://educacao.uol.com.br/biografias>. 

 

Construção do Triângulo de Pascal 

Apesar de o triângulo de Pascal ser definido por meio de uma sequência de números binomiais, há outras formas de construi-lo. 

 

Vamos olhar mais atentamente: 

 

  • Todas as linhas começam e terminam com 1. 
 

 

  • A partir da terceira linha, cada elemento é o resultado da soma do número anterior a ele com o que se encontra acima dele, obedecendo a relação de Stiefel. 
 

 

Exemplos: 

 

  • O elemento 15 é o resultado da soma do que número se encontra acima dele, o 10, com o anterior, o 5
 
  • 3 = 2 + 1 
 
  • 4 = 1 + 3 
 

A soma dos elementos de cada linha acompanha a potência de base 2

 

 

 

No próximo capítulo, trabalharemos com o assunto Binômio de Newton e você poderá aplicar o que aprendeu sobre o triângulo de Pascal para calcular rapidamente os coeficientes necessários em alguns exemplos e exercícios. 

 

Em Resumo 

Fatorial é uma notação matemática que indica multiplicação de números naturais em ordem decrescente: n! = n.(n −1).(n −2).(n − 3)...1

 

Número ou coeficiente binomial: 

 

 

O triângulo de Pascal é composto por números binomiais agrupados em linhas colocadas uma a baixo da outra e pode ser construído por meio de sucessivas adições. 

 

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