Texto: Circunferências e Círculos (9º Ano)

Circunferências e Círculos (9º Ano)

Uma das principais invenções do homem é sem dúvida a roda. Fatos mostram que ela foi criada cerca de 3.500 a.C. Nos primeiros modelos, os aros eram de madeira e, por volta de 1930, surgiram as rodas de aço, mais leves e baratas.

Observe os modelos de rodas.
 

Roda de madeira e roda de aço
 
Essas rodas lembram-nos circunferências. Além das rodas, as formas circulares estão presentes em diversas situações, por exemplo, o quadro abaixo, que é formado por várias circunferências, a placa de trânsito, que lembra um círculo, a construção de uma circunferência utilizando-se um compasso, e a última imagem, que é uma roda gigante, também lembra uma circunferência.
 
 
Neste tópico, vamos estudar circunferências e círculos, ângulos centrais e inscritos e o comprimento de uma circunferência.
 

Circunferência e Círculo

Circunferência é uma figura geométrica formada por uma linha fechada, cujos os pontos distam igualmente de um ponto fixo O, denominado centro.
 

Os elementos de uma circunferência são:
  • Raio é o segmento que une o centro a qualquer ponto da circunferência. Os segmentos #\overline{OU},\overline{OP},\overline{OQ},\overline{OA},\overline{OV}# e #\overline{OR}# representam os raios. O raio pode ser indicado por #r#.
  • Corda é um segmento com extremidades em pontos distintos da circunferência. Os segmentos #\overline{QP},\overline{VA}# e #\overline{TS}# representam as cordas.
  • Diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Os segmentos #\overline{QP}# e #\overline{VA}# representam os diâmetros. O diâmetro será indicado por #D#. Observe que a medida do diâmetro #\overline{QP}#é duas vezes a medida do raio #r#. Então: #D=2r#.
 
O círculo é uma figura geométrica formada pela união da circunferência com sua região interna.
 

Arcos de Circunferências

Se marcarmos dois pontos distintos em uma circunferência, esses pontos irão dividir a circunferência em duas partes, denominadas de arcos. Veja o exemplo abaixo:
 
 
Os arcos têm extremidades A e B. 
  • O arco menor será indicado por: #\overset\frown{AB}#(lê-se: arco AB).
 
  • Para indicar o arco maior, vamos marcar um ponto M sobre a circunferência entre A e B. O arco maior será indicado por: #\overset\frown{AMB}# (lê-se: arco AMB).
 
  • Quando os dois pontos distintos que estão sobre a circunferência são exatamente os extremos do diâmetro, eles dividem a circunferência em dois arcos congruentes, chamados de semicircunferências.
 


Ângulo Central

Ângulos que tem seu vértice no centro da circunferência são denominados ângulos centrais.
 
Na figura abaixo, o ângulo#A\hat{O}B# é ângulo central e #\overset\frown{AB}# é o arco central correspondente a esse ângulo.
 

A medida angular do arco #\overset\frown{AB}# é a mesma do ângulo central correspondente.

Observe a figura abaixo:
 
 
Na figura, o arco #\overset\frown{AB}# e o ângulo central #A\hat{O}B#medem 150°.

Sabemos que um circunferência tem 360°, assim, para determinar o tamanho do arco maior, iremos subtrair de 360° a medida do arco central #A\hat{O}B#, isto é, #360{}^\circ -150{}^\circ =210{}^\circ #. 

Portanto, o arco maior #\overset\frown{AMB}# mede 210°.
 
 

Ângulo Inscrito

Um ângulo que tem seu vértice sobre a circunferência, sendo seus lados secantes à circunferência, é denominado ângulo inscrito.
 
Na circunferência de centro O, temos que #A\hat{C}B# é um ângulo inscrito.
 

Atenção!

A medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco determinado
por ele na circunferência.


Comprimento da Circunferência

Para calcular o perímetro de uma circunferência, temos que determinar seu comprimento, ou seja, o tamanho de seu contorno.

Temos que a razão entre o comprimento #\left( C \right)#da circunferência e o diâmetro #d=2r# é igual a pi, indicado por #\pi #. Assim: #\frac{C}{2r}=\pi #.

Isolando o comprimento #\left( C \right)#, temos: #C=2\pi r#.

O número #\pi # é um número irracional, logo, tem infinitas casas decimais. Porém, no cálculo de comprimento de circunferência, iremos considerar #\pi =3,14#.
 
Observe:
 
 
 

Comprimento de um Arco de Circunferência

Aprendemos neste tópico que, marcando dois pontos distintos em uma circunferência, esses pontos irão dividir a circunferência em duas partes, denominadas de arcos, e a medida de um arco é igual à medida do ângulo central que o determina. 

Em uma circunferência completa, a medida do arco central é 360°, e o comprimento é determinado por #C=2\pi r#. Para calcular o comprimento de um arco, iremos aplicar a regra de três.

Vamos determinar o comprimento do arco x.
 
Temos que: 
  • #r=2# cm;
  • o ângulo central #A\hat{O}B# mede 70°.
Vamos calcular o comprimento da circunferência de raio 2 cm.
 
#C=2\pi r\to C=2\cdot 3,14\cdot 2\to C=12,56#
 
 
Por meio da regra de três vamos relacionar o comprimento do arco com o ângulo central.
 
Assim: 
 
 
Portanto, o comprimento do arco é, aproximadamente 2,44 cm.


Em Resumo

Neste tópico, relembramos a diferença entre círculo e circunferência e algumas características dos ângulos centrais e dos inscritos. Vimos como calcular o comprimento de uma circunferência e de um arco de circunferência. É importante lembrarmos que a medida, em graus, de um arco é igual à medida do ângulo central correspondente.
 

Referências

BRASIL. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: Ministério da Educação e do Desporto; Secretária do Ensino Fundamental, 1997.
DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de Matemática elementar: geometria plana. v.9. 9.ed. São Paulo: Atual, 2013.
SARESP. Matemática. São Paulo: s/ed., 2005; 2007.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática para todos: 9º ano. São Paulo: Scipione, 2011. (Interdisciplinaridade Ciências – Matemática). Disponível em: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm22/indecccccx.htm
FACULDADES ADAMANTINENSES INTEGRADAS/PIBID. Banco de questões Saresp. Adamantina: s/ed., 2012. Disponível em: http://www.fai.com.br/portal/pibid/adm/atividades_anexo/0961110af685f73c2eb640797a529828.pdf
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