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Polinômios: Função Polinomial e Valor Numérico - Grau de um Polinômio, Polinômio Nulo e Operações (Adição, Subtração e Multiplicação por um Escalar)

 
Estudaremos neste capítulo os polinômios. Na Matemática, eles fazem parte da álgebra, sendo considerados importantes por se relacionarem com as outras áreas do conhecimento. A seguir, apresentaremos duas situações:
 
  • Situação 1: O volume de um cubo que tem sua aresta medindo x é dado pela fórmula #v={{x}^{3}}#, caso acrescentemos 1 à aresta, o volume será dado pela expressão #v={{(x+1)}^{3}}#.
 
  • Situação 2: Um taxista cobra pela corrida R$ 3,20 mais 1,20 por quilômetro rodado. A expressão que representa o valor pago p pela corrida de x quilômetros é representado por #p=3,20+1,20.x#
 
Nas situações acima, as expressões #{{(x+1)}^{3}}# e #3,20+1,20.x#representam polinômios.
 
 
 

Polinômios

Expressões da forma #{{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}#, sendo x uma variável complexa, com #{{a}_{0}},{{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}# pertencentes aos números complexos e #n\in \mathbb{N}#, são denominados polinômios.
 
Observemos alguns exemplos:
  • #2{{x}^{3}}-\frac{1}{2}x#
  • #{{(x+1)}^{3}}={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1#(situação 1)
  • #i{{x}^{5}}+2{{x}^{4}}-1#
  • #{{x}^{-2}}+1# (não é um polinômio, pois um expoente é negativo)
  • #2{{x}^{\frac{1}{5}}}-{{x}^{2}}+1#(não é um polinômio, porque possui como expoente uma fração)
Faremos algumas observações sobre os polinômios:
  • Os #{{a}_{0}},{{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}# são denominados coeficientes do polinômio e, quando existir o coeficiente #{{a}_{0}}#, que não multiplica a incógnita, este é chamado de coeficiente independente.
→ #2{{x}^{3}}-\frac{1}{2}x#, seus coeficientes são 2 e #-\frac{1}{2}#. 
→ #{{(x+1)}^{3}}={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1#, seus coeficientes são 1, 3, 3 e 1, com este último sendo o coeficiente independente.
→ #i{{x}^{5}}+2{{x}^{4}}-1#, seus coeficientes são i, 2  e -1. -1 é o coeficiente independente.
 
  • O polinômio com os coeficientes iguais a zero denomina-se polinômio nulo.
→ #0{{x}^{3}}-0{{x}^{2}}+0x+0#
    
  • O grau do polinômio é determinado pelo número natural do maior expoente de coeficiente não nulo.
→ #0{{x}^{3}}-0{{x}^{2}}+0x+0#, grau zero.
→ #2{{x}^{3}}-\frac{1}{2}x#, grau três.
→ #i{{x}^{5}}+2{{x}^{4}}-1#, grau cinco.
 
  •  Dois polinômios de mesma incógnita são iguais quando possuem os mesmos coeficientes.
→ Os polinômios #p(x)=a{{x}^{2}}+bx+c# e #q(x)=-3{{x}^{2}}+5x+1# são iguais para #a=-3#, #b=5# e #c=1#.
→ O polinômio #f(x)=m{{x}^{3}}+n{{x}^{2}}+px+q# é igual ao polinômio #g(x)=4{{x}^{2}}-x+2# quando #m=0#, #n=4#, #p=-1# e #q=2.#.
 
 
 

Função Polinomial

A função que associa um número complexo  ao polinômio #{{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}# recebe o nome de função polinomial.
 
Em símbolos, temos:
 
#\begin{align}
  & f:\mathbb{C}\to \mathbb{C} \\ 
 & f(x)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}} \\ 
\end{align}#
 
Vejamos exemplos de funções polinomiais:
 
  • #f(x)=-3{{x}^{2}}+ix-5#
  • #g(x)=\frac{1}{2}{{x}^{5}}+2x#
  • #p(x)=3,20+1,20.x# (situação 2) 
    
Observa-se por conjectura que para cada função polinomial tem-se um único polinômio e que para cada polinômio tem-se uma única função polinomial, com isso, usaremos a palavra polinômio para se referir a uma função polinomial.
 

Valor Numérico de um Polinômio

 
Ao considerar o número #\alpha # pertencente aos números complexos e o polinômio #f(x)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}#, quando substituirmos o valor #\alpha # no lugar da incógnita, estaremos determinando o valor numérico para #x=\alpha #.
 
Seja o polinômio #p(x)=3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x+1#, para calcular o valor numérico para #x=3# e #x=i#.
 
  • Substituímos #x# por 3:
#p(3)=3\cdot {{3}^{3}}+2\cdot {{3}^{2}}-3+1=81+18-3+1=97#
 
  • Substituímos #x# por #i#:
#p(i)=3\cdot {{i}^{3}}+2\cdot {{i}^{2}}-i+1=-3i-2-i+1=-4i-1#
 
 
 
 
 

Adição e Subtração de Polinômios

Sejam os polinômios #f(x)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}# e #g(x)={{b}_{n}}{{x}^{n}}+{{b}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{b}_{1}}x+{{b}_{0}}# e #\alpha \in \mathbb{C}#, temos que a adição e a a subtração são definidas da seguinte forma:
 

Confira alguns exemplos:
 
  • #\text{Dados os polin }\!\!\hat{\mathrm{o}}\!\!\text{ mios }f(x)=-7{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}-2x-9\text{ e}# #g(x)=-2{{x}^{2}}+8x+10\text{ vamos obter}#,#f(x)+g(x):#
 
#(-7{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}-2x-9)+(-2{{x}^{2}}+8x+10)=# #-7{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}-2{{x}^{2}}-2x+8x-9+10=#

#-7{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+6x+1#
 
  •  #\text{Dados os polin }\!\!\hat{\mathrm{o}}\!\!\text{ mios }f(x)=4{{x}^{2}}-5x+6\text{ e}# #g(x)=3x-8\text{ vamos obter}#
#f(x)-g(x):#

#(4{{x}^{2}}-5x+6)-(3x-8)=4{{x}^{2}}-5x+6-3x+8=4{{x}^{2}}-8x+14#
 
 

Multiplicação de um Polinômio por um Escalar

#\alpha f(x)=\alpha ({{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}})=\alpha {{a}_{n}}{{x}^{n}}+\alpha {{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+\alpha {{a}_{1}}x+\alpha {{a}_{0}}#, ou seja, o produto é a multiplicação do escalar por cada termo do polinômio.
 
Vejamos o exemplo:
 
  • Seja #f(x)={{x}^{2}}-3x+6# e #\alpha =8#, então #\alpha \cdot f(x)=8({{x}^{2}}-3x+6)=8{{x}^{2}}-24x+48#.
 

Produto de Polinômios

Observe os polinômios: #f(x)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}# e #g(x)={{b}_{n}}{{x}^{n}}+{{b}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{b}_{1}}x+{{b}_{0}}#. Multiplicá-los resultará em um polinômio que é obtido pela soma da multiplicação de cada termo de #f(x)# por todos os termos de #g(x)#.
 
  • Dados os polinômios #f(x)=3{{x}^{2}}-5x+8# e #g(x)=-2x+1#, vamos obter #f(x)\cdot g(x)#
 

Você Sabia?

O grande matemático e físico Carl Friedrich Gauss fez grandes contribuições para a ciência, entre elas, na teoria dos números, fez várias descobertas, como, por exemplo, o Teorema do Binômio. Ele ainda trabalhava para o governo e acumulou riquezas por investimentos bem realizados. 
 
 

Em Resumo

Neste capítulo, ampliamos nosso conhecimento de polinômios que já conhecíamos:
 
Sua forma geral: #{{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}#
 
As operações:
 
#\begin{align}
  & (f+g)(x)=({{a}_{n}}+{{b}_{n}}){{x}^{n}}+...\pm ({{a}_{1}}+{{b}_{1}})x+({{a}_{0}}+{{b}_{0}}) \\ 
 & (f-g)(x)=({{a}_{n}}-{{b}_{n}}){{x}^{n}}+...\pm ({{a}_{1}}-{{b}_{1}})x+({{a}_{0}}-{{b}_{0}}) \\ 
\end{align}#
 
#\alpha f(x)=\alpha ({{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}})=\alpha {{a}_{n}}{{x}^{n}}+\alpha {{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+\alpha {{a}_{1}}x+\alpha {{a}_{0}}#
 
 
E o produto de polinômios #(f\cdot g)(x)#.
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