Texto: Forma Trigonométrica de um Número Complexo

Forma Trigonométrica de um Número Complexo

No capítulo anterior, foi trabalhado o conceito de representação geométrica e argumento de um número complexo. Neste capítulo, com a utilização desses dois conceitos, iremos escrever um número complexo #z=a+bi# (forma algébrica) em um uma forma trigonométrica (envolvendo seno e cosseno).
 

Forma Trigonométrica ou Polar

No capítulo anterior, vimos que, a partir de #z=a+bi#, podemos estabelecer as seguintes relações trigonométricas:
 
#\left\{ \begin{align}
  & \cos \theta =\frac{b}{\left| z \right|} \\ 
 & \text{sen}\theta =\frac{a}{\left| z \right|} \\ 
\end{align} \right.#, 
 
Mas, ainda, podemos reescrevê-las assim:
 
#\left\{ \begin{align}
  & \cos \theta =\frac{b}{\left| z \right|}\to b=\left| z \right|.\cos \theta  \\ 
 & \text{sen}\theta =\frac{a}{\left| z \right|}\to a=\left| z \right|.sen\theta  \\ 
\end{align} \right.#

Substituindo tais igualdades na forma algébrica, teremos:
 
#z=a+bi\to z=\left| z \right|.\cos \theta +\left( \left| z \right|.\text{sen}\theta  \right)i#.
#z=\left| z \right|.\left( \cos \theta +i.\text{sen}\theta  \right)# → forma trigonométrica ou polar de z.
 
Exemplo:
 
Escrever o número complexo #z=1+i# na forma trigonométrica.
 
Inicialmente, calcularemos o módulo de z.
 
#\left| z \right|=\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{2}#.

Em seguida, calcularemos seu argumento:
 
#\left\{ \begin{align}
  & \cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\
 & \text{sen}\theta =\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\end{align} \right.\to \theta =45{}^\text{o}#

A forma trigonométrica será:
 
#z=\sqrt{2}.\left( \cos 45{}^\text{o}+i.\text{sen}45{}^\text{o} \right)#.
 
 
 

Atenção!

Perceba que, caso desejemos retornar à forma algébrica, basta colocarmos os valores de seno e cosseno na expressão.
 
Veja:
 
#z=\sqrt{2}.\left( \cos 45{}^\text{o}+i.\text{sen}45{}^\text{o} \right)=\sqrt{2}.\left( \frac{\sqrt{2}}{2}+i.\frac{\sqrt{2}}{2} \right)=\frac{2}{2}+i.\frac{2}{2}=1+i#
 

Operações na Forma Trigonométrica

Algumas operações se tornam mais simples caso os números estejam na forma trigonométrica. Veja como podemos realizar as operações de multiplicação e potenciação. 
 

Multiplicação

Dados os complexos #{{z}_{1}}#, de módulo #\left| {{z}_{1}} \right|={{\rho }_{1}}# e argumento #{{\theta }_{1}}#, e #{{z}_{2}}#, de módulo #\left| {{z}_{2}} \right|={{\rho }_{2}}# e argumento #{{\theta }_{2}}#, o produto #{{z}_{1}}.{{z}_{2}}#, após a aplicação de igualdades trigonométricas e de algumas manipulações algébricas, resultará em:
 
#{{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{\rho }_{1}}.{{\rho }_{2}}\left[ \cos \left( {{\theta }_{1}}+{{\theta }_{2}} \right)+i.\text{sen}\left( {{\theta }_{1}}+{{\theta }_{2}} \right) \right]#
 
Em outras palavras:
 
Para multiplicar dois complexos na forma trigonométrica, basta multiplicar os módulos e somar os argumentos.

Exemplo:
 
Multiplique:
 
  • #{{z}_{1}}=4.\left( \cos 45{}^\text{o}+i.\text{sen}45{}^\text{o} \right)# e #{{z}_{2}}=\sqrt{3}.\left( \cos 10{}^\text{o}+i.\text{sen}10{}^\text{o} \right)#
#{{z}_{1}}.{{z}_{2}}=4\sqrt{3}\left[ \cos \left( 55{}^\text{o} \right)+i.\text{sen}\left( 55{}^\text{o} \right) \right]#
 
  • #{{z}_{1}}=\sqrt{2}.\left( \cos 15{}^\text{o}+i.\text{sen}15{}^\text{o} \right)$e ${{z}_{2}}=\sqrt{8}.\left( \cos 100{}^\text{o}+i.\text{sen}100{}^\text{o} \right)#
#{{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\sqrt{2.8}\left[ \cos \left( 15{}^\text{o}+100{}^\text{o} \right)+i.\text{sen}\left( 15{}^\text{o}+100{}^\text{o} \right) \right]=4\left[ \cos \left( 115{}^\text{o} \right)+i.\text{sen}\left( 115{}^\text{o} \right) \right]#
 

Potenciação 

Dados os complexos #{{z}_{1}}#, de módulo #\left| {{z}_{1}} \right|={{\rho }_{1}}# e argumento #{{\theta }_{1}}#, a potência #{{\left[ {{z}_{1}} \right]}^{n}}#, após a aplicação de igualdades trigonométricas e de algumas manipulações algébricas, resultará em:
 
#{{\left[ {{z}_{1}} \right]}^{n}}={{\rho }_{1}}^{n}\left[ \cos \left( n.{{\theta }_{1}} \right)+i.\text{sen}\left( n.{{\theta }_{1}} \right) \right]#
 
Em outras palavras:
 
Para elevarmos um número complexo na forma trigonométrica à potência n, basta elevar o módulo a n e multiplicar seu argumento por n.
 
Exemplo:
 
Calcule #{{z}^{2}}#:
 
  • #z=4.\left( \cos 45{}^\text{o}+i.\text{sen}45{}^\text{o} \right)# 
#{{z}^{2}}={{4}^{2}}.\left( \cos (2.45{}^\text{o})+i.\text{sen(2}.45{}^\text{o}) \right)=16.\left( \cos (90{}^\text{o})+i.\text{sen(}90{}^\text{o}) \right)#
 
  • #z=\sqrt{2}.\left( \cos 180{}^\text{o}+i.\text{sen}180{}^\text{o} \right)# 
#z={{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}.\left( \cos \left( 2.180{}^\text{o} \right)+i.\text{sen}\left( \text{2}.180{}^\text{o} \right) \right)=2.\left( \cos \left( 360{}^\text{o} \right)+i.\text{sen}\left( 360{}^\text{o} \right) \right)=2.\left( \cos \left( 0{}^\text{o} \right)+i.\text{sen}\left( 0{}^\text{o} \right) \right)#
 
 
 

Em Resumo

Qualquer número complexo não nulo pode ser escrito na forma:

#z=\left| z \right|.\cos \theta +\left( \left| z \right|.\text{sen}\theta  \right)i#, que é chamada forma trigonométrica ou polar.
 
 
Para multiplicar dois complexos na forma trigonométrica, basta multiplicar os módulos e somar os argumentos.
 
Para elevarmos um número complexo na forma trigonométrica à potência n, basta elevar o módulo a n e multiplicar seu argumento por n.
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