Texto: Probabilidades Equiprováveis

Probabilidades Equiprováveis

No capítulo anterior, foram definidos alguns conceitos a cerca de eventos e espaços amostrais. No presente capítulo, serão expandidos tais conceitos e abordados tipos distintos de probabilidades e seus respectivos cálculos.
 
 

Eventos Equiprováveis

Eventos equiprováveis são aqueles que possuem a mesma chance de sorteio, ou seja, cada evento elementar possui a mesma probabilidade.
 
A seguir, serão abordadas algumas propriedades dos eventos equiprováveis.
 

Propriedades

  • A soma das probabilidades de todos os eventos elementares de um espaço amostral é igual à unidade.
 Exemplo: Dado de seis faces.
 P(E)= P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1
 
  • A probabilidade do complementar de A é igual a 1 – P(A).
Exemplo: Dado de seis faces.
 
Seja A = sorteio do número 6
 
#P\left( A \right)=\text{ }P\left( 6 \right)\text{ }=\text{ }\frac{1}{6}#

#P(\overline{A})=1-P(A)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}#

Ou seja, a probabilidade de não se sortear o número 6 é de #\frac{5}{6}#.
   

Probabilidades Condicionais

Probabilidades condicionais são probabilidades que dependem de algum outro evento já ocorrido. Para exemplificar, considere a seguinte situação:
 
Dez amigos seus estão participando de um sorteio e cada um deles possui um bilhete numerado. Essa numeração corresponde ao número de uma das 10 bolinhas numeradas colocadas em uma urna de sorteio.
 
O espaço amostral desse sorteio será E = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.
 
O evento elementar A = {3} apresenta probabilidade igual a #P(A)=\frac{n(A)}{n(E)}=\frac{1}{10}#.
 
No entanto, para aumentar o suspense, a pessoa que retira a bolinha da urna diz: “O número sorteado é menor ou igual a 4.”
 
Dessa forma, o novo espaço amostral do sorteio passa a ser B = {1,2,3,4}, com apenas 4 elementos.
 
As chances de sorteio do evento A = {3} são de #P\acute{\ }(A)=\frac{n(A)}{n(B)}=\frac{1}{4}#.
 
Essa nova probabilidade de ocorrência de A, denotada por #P\acute{\ }(A)#, é chamada de probabilidade condicional do evento A quando B é conhecido e é indicado por #P(A/B)#. Em outras palavras, #P(A/B)# representa a probabilidade de ocorrer o evento A quando já tiver ocorrido um evento intermediário B.
 
Exemplo: 
 
Qual a probabilidade de se sortear, no lançamento de um dado de 6 faces, um múltiplo de 3 menor do que 5?
 
Inicialmente, o sorteio de um múltiplo de 3.
 
E = {1,2,3,4,5,6}
 
Múltiplo de 6 →  A = {3,6}
 
Probabilidade de A = #P(A)=\frac{n(A)}{n(E)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}# 

Agora, o sorteio de um múltiplo de 3 menor do que 5.
 
B= {1,2,3,4} e n(B)=4
 
A’={3} e  n(A´)=1
 
#P(A/B)=\frac{n(A\acute{\ })}{n(B)}=\frac{1}{4}#
 
 


Cálculo das Probabilidades Condicionais

O cálculo das probabilidades condicionais poderá ser feito separadamente conforme visto no exemplo dado anteriormente ou então por meio da fórmula:
 
#P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}#
 
 
Veja o exemplo anterior sendo calculado por meio dessa fórmula:
 
É possível perceber que:
 
#A\cap B#= {3} → #P(A\cap B)=\frac{n(A\cap B)}{n(E)}=\frac{1}{6}#,

#P(B)=\frac{n(B)}{n(E)}=\frac{4}{6}#
 
Aplicando a fórmula:
 
#P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{1}{6}:\frac{4}{6}=\frac{1}{6}.\frac{6}{4}=\frac{1}{4}.#
 
Note que, como esperado, o resultado é o mesmo.
 


Eventos Independentes

Dois eventos A e B de um espaço amostral são chamados de eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles independe do fato de haver ou não ocorrido o outro.
 
Simbolicamente:
 
#P(A/B)=P(A)# e #P(B/A)=P(B)#
 
Como consequência: 
 
#P(A\cap B)=P(A).P(B)#
 
Exemplo:
 
Joga-se um dado e uma moeda. Qual a probabilidade de se obter um 5 no dado e a face coroa na moeda?
 
Como os eventos de lançamentos de dado e da moeda independem um do outro, eles seguem as regras de eventos independentes.
 
A → número 5. #P(A)=\frac{n(A)}{n(E)}=\frac{1}{6}#
 
B → face coroa. #P(B)=\frac{n(B)}{n(E)}=\frac{1}{2}#
 
#P(A\cap B)=P(A).P(B)=\frac{1}{6}.\frac{1}{2}#
 
 

Leitura

A noção de probabilidade tem a sua origem mais remota referida não só a prática de jogos “de azar”, antes disso, à instituição dos seguros que foram usados já pelas civilizações mais antigas, designadamente pelos fenícios, a fim de protegerem a sua atividade comercial marítima.
 
O cálculo das probabilidades parece ter nascido na Idade Média com as primeiras tentativas de matematização dos jogos de azar, muito difundidos na época.
 
 É sabido que, desde sempre, os jogos foram praticados como apostas, mas também para prever o futuro, decidir conflitos, dividir heranças etc.
 
O desenvolvimento do cálculo das probabilidades surgiu no século XVII. A ligação das probabilidades com os conhecimentos estatísticos veio dar uma nova dimensão à ciência Estatística. Os três nomes importantes ligados a essa fase são: Fermat (1601-1665), Pascal (1623-1662) e Huygens (1629-1695).
 
No cotidiano, usamos diariamente o cálculo de probabilidades de uma forma intuitiva. Ao acordarmos, olhamos o tempo, sentimos a temperatura, ouvimos e consultamos a internet sobre a previsão do tempo em determinado dia e, a partir daí, escolheremos a roupa que vamos usar, se levaremos guarda-chuva ou não. Podemos também ter uma noção de que hora precisamos sair de casa para não chegar atrasado na escola, no trabalho, a probabilidade de o trânsito estar congestionado. Podemos também calcular a probabilidade de o nosso time ganhar um campeonato, um jogo. A probabilidade de passarmos em um concurso público ou vestibular “chutando” todas as questões. Diariamente, muitas pessoas no Brasil e em todas as partes do mundo – em busca de diversão e, principalmente, dinheiro – apostam em loterias, vão às casas de bingo, compram raspadinhas, gastam moedinhas em caças-níqueis, viajam para lugares onde há cassinos.
 
Independentemente do valor apostado, que pode ser R$ 0,50, em uma raspadinha, ou quantias milionárias, como as que circulam em Las Vegas (EUA), Punta del Este (Uruguai) ou Mônaco, por exemplo, os jogos de azar despertaram a atenção das pessoas que sonham com dinheiro fácil e uma vida mais tranquila.
 
É muito importante destacar, por fim, que, embora os jogos de azar tenham historicamente impulsionado o desenvolvimento das teorias das probabilidades, essa fascinante parte da matemática tem aplicações notáveis em outras ciências, como biologia (principalmente em genética), finanças e marketing e econometria (conjunto de técnicas matemáticas usadas para quantificar fenômenos econômicos). 
 
Fonte: PORTAL EDUCAÇÃO. Introdução e Importância de Probabilidades, Campo Grande – MS. Disponível em:
 

Em Resumo

Eventos equiprováveis

Eventos equiprováveis são aqueles que possuem a mesma chance de sorteio, ou seja, cada evento elementar possui a mesma probabilidade.
 
A probabilidade do complementar de A é igual a 1 – P(A).
 

Probabilidades condicionais

Probabilidades condicionais são probabilidades que dependem de algum outro evento já ocorrido. Para exemplificar, considere a seguinte situação:
 
#P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}#


Eventos independentes

Dois eventos A e B de um espaço amostral são chamados de eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles independe do fato de haver ou não ocorrido o outro.
 
#P(A\cap B)=P(A).P(B)#
 
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