Texto: Equações

Equações

O papiro de Rhind ou papiro de Ahmes é um documento escrito por volta de 1700 a.C. pelos egípcios. Nesse documento, aparecem registros das primeiras equações, que eram escritas em forma de problemas. As incógnitas nesse tempo recebiam o nome de aha. Veja um problema: Aha, seu total, e sua sétima parte, resulta 19.
 
 

Papiro de Rhind

Os gregos também deram suas contribuições para o desenvolvimento da equação, entre eles temos o matemático Diofanto de Alexandria, que por muitos estudiosos é considerado o “pai da Álgebra”. Uma das grandes contribuições dele diz respeito à solução das equações. Em sua época, ele escreveu que, para determinar a solução da equação, é necessário definir a qual sistema numérico as soluções pertencem.

As equações auxiliam-nos na resolução de diversos problemas do cotidiano, sendo utilizadas em diversas áreas do conhecimento, como Engenharia, Física, Química, Administração, entre outras.

Neste tópico, iremos estudar as primeiras ideias sobre as equações do 1º grau e a resolvê-las.
 


Primeiras Ideias sobre Equações

Sabemos que uma sentença matemática em forma de texto pode ser transformada em linguagem matemática por meio de símbolos.

As sentenças matemáticas que contém igualdade e valores desconhecidos são denominadas equações.

Acompanhe o exemplo:

Em uma chácara retangular, o comprimento tem 15 metros a mais que a largura. Conforme a figura abaixo.
 
 
Sabendo que o perímetro dessa chácara é de 170 metros, escreva a equação que representa essa situação.
 
O perímetro é a soma das medidas de todos os lados. Então:
 
#x+x+(x+15)+(x+15)=170# Reduzindo-se os termos semelhantes:
 
#4x+30=170#
 
A equação que representa essa situação é #4x+30=170#.
 
A sentença matemática #4x+30=170# é um exemplo de equação, pois temos uma igualdade e um número desconhecido representado pela letra x.
 

Atenção!

Em uma equação o valor desconhecido chama-se incógnita. Para representar esse valor podemos usar qualquer letra minúscula (a, b, c, d, ...).
 
Uma equação tem dois membros, denominados 1º e 2º membros. Exemplo:
 
 
Observe os exemplos abaixo:
  • #2y=10# é uma equação com um incógnita, pois tem uma igualdade e a incógnita #y#.
  • #x+y=\frac{1}{2}# é uma equação com duas incógnitas, pois tem uma igualdade e as incógnitas #x# e #y#.
  • #5+7=12# não é uma equação, pois não tem o valor desconhecido.
  • #x>-3# não é uma equação, pois não é uma igualdade.
Neste tópico, iremos estudar a equação do 1º grau com uma incógnita.
 

Leitura

Encontros de Primeiro Grau 
Sinopse: Vindo da China, o químico Wang tem dois problemas para resolver no Brasil: encontrar sua filha e despoluir um rio. Para isso, ele conta com a ajuda do balonista Rodrigo e da Matemática, sobretudo das equações de 1o grau.

Referência da leitura: RAMOS, L. F. Encontros de primeiro grau. São Paulo: Ática, 2001. (Coleção A descoberta da matemática).
 

Raiz de uma Equação

Podemos resolver a equação #4x+30=170# encontrando o valor da incógnita #x#. O valor de #x# será raiz ou solução da equação. Quando colocado no lugar dessa incógnita, torna a igualdade verdadeira.

Acompanhe:
 
Na equação #4x+30=170#, o valor de #x# que torna a igualdade verdadeira é 35, pois ao substituir a incógnita #x# por 35, obtemos:
 
  
Portanto, 35 é raiz ou solução da equação #4x+30=170#.
 

Conjunto Universo e Conjunto Solução de uma Equação

O conjunto universo são todos os possíveis valores que uma incógnita pode assumir.

O conjunto solução são os valores que, substituídos no lugar na incógnita, tornam a igualdade verdadeira.
 
Acompanhe os exemplos:
 
  • Qual é o número natural que somado com 3 resulta em 15?
Vamos considerar que esse número seja #x#. Escrevendo a sentença em linguagem matemática, temos #x+3=15#.
 
Temos que #x=12#, pois: 
 
O conjunto universo: O conjunto dos números naturais {0, 1, 2, 3, 4, ...}.
 
O conjunto solução {12} está contido no conjunto universo dado. Portanto, 12 é raiz ou solução da equação.
 
  • Qual é o número natural que elevado ao quadrado resulta em 36.
Vamos representar o número desconhecido pela letra #y\]. Assim: \[{{y}^{2}}=36#.

Sabemos que #{{6}^{2}}=6\cdot 6=36# e #{{\left( -6 \right)}^{2}}=\left( -6 \right)\cdot \left( -6 \right)=36#.

Agora, vamos verificar se 6 e -6 tornam a equação #{{y}^{2}}=36# verdadeira:
 
 
                               
Observe que 6 e -6 tornam a igualdade verdadeira. Portanto, 6 e -6 são raízes dessa equação. Além de a igualdade ser verdadeira, é necessário que esses números estejam contidos no conjunto universo dado.

Temos que o conjunto universo é o conjunto dos números naturais {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Assim, o conjunto solução é {6}, pois -6 não está no conjunto universo dado. 

Logo, a raiz da equação #{{y}^{2}}=36# no conjunto universo dado é 6.


Resolvendo Equações do 1º grau com uma Incógnita

Para resolver as equações, iremos aplicar o princípio aditivo e/ou princípio multiplicativo, encontrando equações equivalentes à equação dada.
 

Atenção!

Equações que têm o mesmo conjunto solução são denominadas equações equivalentes. Para obtermos uma equação equivalente à equação dada, podemos adicionar ou subtrair um mesmo número nos dois membros da equação, ou seja, aplicaremos o princípio aditivo.

Uma equação equivalente a uma equação dada também pode ser obtida multiplicando-se ou dividindo-se, por um mesmo número diferente de zero, os dois membros da equação, aplicando o princípio multiplicativo.

Veja os exemplos.

Resolva as equações:
  • #x+5=2#. Adicionando (-5) nos dois membros da equação.
#x+5-5=2-5#
#x=-3#
Portanto, -3 é a solução da equação #x+5=2#.
 
  • #6x=48# Multiplicando por #\frac{1}{6}# os dois membros da equação.
#\frac{1}{6}\cdot 6x=48\cdot \frac{1}{6}#
#x=8#
Portanto, 8 é a solução da equação#6x=48#.
 
  • #9x-4=50# Adicionando (4) nos dois membros da equação.
#9x-4+4=50+4#
#9x=54# Multiplicando por \[\frac{1}{9}\] os dois membros da equação.
#\frac{1}{9}\cdot 9x=54\cdot \frac{1}{9}#
#x=6#
Portanto, 6 é a solução da equação\[9x-4=50\].
 
  • #5(x-6)+12=-35#     Aplicando a propriedade distributiva.
#5x-30+12=-35#
#5x-18=-35# Adicionando (18) nos dois membros da equação.
#5x-18+18=-35+18#
#5x=-17# Multiplicando por #\left( \frac{1}{5} \right)#os dois membros da equação.
#\frac{1}{5}\cdot 5x=-17\cdot \frac{1}{5}#
#x=-\frac{17}{5}#
Portanto, #-\frac{17}{5}# é a solução da equação #5(x-6)+12=-35#
 
 
  • #-3x+4(x+5)=2x+7# Aplicando a propriedade distributiva.
#-3x+4x+20=2x+7#
#x+20=2x+7# Adicionando #\left( -2x \right)# nos dois membros da equação.
#x+20-2x=2x+7-2x#
#-x+20=7# Adicionando #\left( -20 \right)# nos dois membros da equação.    
#-x+20-20=7-20#
#-x=-13# Multiplicando por #\left( -1 \right)#os dois membros da equação.
#-x\cdot \left( -1 \right)=-13\cdot \left( -1 \right)#
#x=13#
Portanto, 13 é a solução da equação #-3x+4(x+5)=2x+7#.
 

Em Resumo

Neste tópico, conhecemos as equações do 1º grau com uma incógnita. Vimos que, em uma equação, o valor desconhecido pode ser representado por qualquer letra do alfabeto. Aprendemos que para encontrar a solução da equação, aplicamos os princípios aditivo e multiplicativo. 
 

Referências

SISTEMA DE AVALIAÇÃO EDUCACIONAL. Apostila de Língua Portuguesa e Matemática: 9º Ano do Ensino Fundamental. 2013. Disponível em: http://semed.palmas.to.gov.br/saep/public/saep/arquivosdownload/apostila_2013_9ano.pdf
FACULDADES ADAMANTINENSES INTEGRADAS/PIBID. Banco de questões Saresp. Adamantina: s/ed., 2012. Disponível em:  http://www.fai.com.br/portal/pibid/adm/atividades_anexo/0961110af685f73c2eb640797a529828.pdf
RAMOS, L. F. Encontros de primeiro grau. São Paulo: Ática, 2001.
SILVA. M. N. P. Histórias das equações. Disponível em: http://www.mundoeducacao.com/matematica/historia-das-equacoes.htm
 
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